Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\left(2 \left(e^{x} + 1\right)^{2} \tan{\left(x + e^{x} \right)} + e^{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(x + e^{x} \right)} + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -75.398223686155$$
$$x_{2} = -34.5575191894877$$
$$x_{3} = -97.3893722612836$$
$$x_{4} = -12.5663758453332$$
$$x_{5} = -62.8318530717959$$
$$x_{6} = -87.9645943005142$$
$$x_{7} = -21.9911485755507$$
$$x_{8} = -47.1238898038469$$
$$x_{9} = -40.8407044966673$$
$$x_{10} = -15.7079634940015$$
$$x_{11} = -69.1150383789755$$
$$x_{12} = -25.1327412287366$$
$$x_{13} = -37.6991118430775$$
$$x_{14} = -94.2477796076938$$
$$x_{15} = -59.6902604182061$$
$$x_{16} = -56.5486677646163$$
$$x_{17} = -31.415926535898$$
$$x_{18} = -91.106186954104$$
$$x_{19} = -72.2566310325652$$
$$x_{20} = -9.42489898888619$$
$$x_{21} = -65.9734457253857$$
$$x_{22} = 3.22029767117501$$
$$x_{23} = -100.530964914873$$
$$x_{24} = -53.4070751110265$$
$$x_{25} = -0.639897858400705$$
$$x_{26} = -3.20110439264136$$
$$x_{27} = 10.2480125194401$$
$$x_{28} = 1.99799481398749$$
$$x_{29} = 8.2500022666155$$
$$x_{30} = -18.8495559313074$$
$$x_{31} = -78.5398163397448$$
$$x_{32} = -84.8230016469244$$
$$x_{33} = -43.9822971502571$$
$$x_{34} = -50.2654824574367$$
$$x_{35} = -81.6814089933346$$
$$x_{36} = -6.28597520865591$$
$$x_{37} = 6.24466919133792$$
$$x_{38} = -28.2743338823089$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[10.2480125194401, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.530964914873\right]$$