Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln*(x-5)/x+2

Gráfico de la función y = ln*(x-5)/x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x - 5)    
f(x) = ---------- + 2
           x
f(x)=2+log⁡(x−5)xf{\left(x \right)} = 2 + \frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{x} 
f = 2 + log(x - 5)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.02.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2+log⁡(x−5)x=02 + \frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=W(2e10)2+5x_{1} = \frac{W\left(\frac{2}{e^{10}}\right)}{2} + 5
Solución numérica
x1=5.00004539580802x_{1} = 5.00004539580802
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x - 5)/x + 2.
log⁡(−5)0+2\frac{\log{\left(-5 \right)}}{0} + 2
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(x−5)−log⁡(x−5)x2=0\frac{1}{x \left(x - 5\right)} - \frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=11.1383336446073x_{1} = 11.1383336446073
Signos de extremos en los puntos:
(11.138333644607274, 2.16291066238775)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=11.1383336446073x_{1} = 11.1383336446073
Decrece en los intervalos
(−∞,11.1383336446073]\left(-\infty, 11.1383336446073\right]
Crece en los intervalos
[11.1383336446073,∞)\left[11.1383336446073, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1(x−5)2−2x(x−5)+2log⁡(x−5)x2x=0\frac{- \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 5\right)} + \frac{2 \log{\left(x - 5 \right)}}{x^{2}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=58239.9933035561x_{1} = 58239.9933035561
x2=42997.7637921078x_{2} = 42997.7637921078
x3=36512.1207829038x_{3} = 36512.1207829038
x4=37587.3169760119x_{4} = 37587.3169760119
x5=41912.4304267969x_{5} = 41912.4304267969
x6=52793.6747735306x_{6} = 52793.6747735306
x7=24525.8240050417x_{7} = 24525.8240050417
x8=16.6224616459806x_{8} = 16.6224616459806
x9=26232.2932000854x_{9} = 26232.2932000854
x10=44084.1431253877x_{10} = 44084.1431253877
x11=50614.8160526313x_{11} = 50614.8160526313
x12=31210.4958874318x_{12} = 31210.4958874318
x13=30175.2206268932x_{13} = 30175.2206268932
x14=54972.5236933036x_{14} = 54972.5236933036
x15=51704.218910824x_{15} = 51704.218910824
x16=38665.4351789899x_{16} = 38665.4351789899
x17=57150.9916733204x_{17} = 57150.9916733204
x18=45171.3618970764x_{18} = 45171.3618970764
x19=23838.5402974683x_{19} = 23838.5402974683
x20=46259.2463625066x_{20} = 46259.2463625066
x21=56061.8244931891x_{21} = 56061.8244931891
x22=34373.3255376832x_{22} = 34373.3255376832
x23=32256.7495766773x_{23} = 32256.7495766773
x24=29154.1400676975x_{24} = 29154.1400676975
x25=25950.3304041132x_{25} = 25950.3304041132
x26=33311.6181071487x_{26} = 33311.6181071487
x27=28151.7494830016x_{27} = 28151.7494830016
x28=25340.5366247332x_{28} = 25340.5366247332
x29=39745.9384779668x_{29} = 39745.9384779668
x30=27174.5419381139x_{30} = 27174.5419381139
x31=53883.1262058611x_{31} = 53883.1262058611
x32=40828.3898007709x_{32} = 40828.3898007709
x33=48436.4472497219x_{33} = 48436.4472497219
x34=60417.3932114751x_{34} = 60417.3932114751
x35=49525.5329330954x_{35} = 49525.5329330954
x36=59328.8017730803x_{36} = 59328.8017730803
x37=47347.6496830292x_{37} = 47347.6496830292
x38=35440.5122873214x_{38} = 35440.5122873214
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−1(x−5)2−2x(x−5)+2log⁡(x−5)x2x)=−∞sign⁡(2log⁡(5)+2iπ)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 5\right)} + \frac{2 \log{\left(x - 5 \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(2 \log{\left(5 \right)} + 2 i \pi \right)}
lim⁡x→0+(−1(x−5)2−2x(x−5)+2log⁡(x−5)x2x)=∞sign⁡(2log⁡(5)+2iπ)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x - 5\right)} + \frac{2 \log{\left(x - 5 \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(2 \log{\left(5 \right)} + 2 i \pi \right)}
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[16.6224616459806,∞)\left[16.6224616459806, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,16.6224616459806]\left(-\infty, 16.6224616459806\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2+log⁡(x−5)x)=2\lim_{x \to -\infty}\left(2 + \frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2y = 2
lim⁡x→∞(2+log⁡(x−5)x)=2\lim_{x \to \infty}\left(2 + \frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2y = 2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x - 5)/x + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2+log⁡(x−5)xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 + \frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2+log⁡(x−5)xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2+log⁡(x−5)x=2−log⁡(−x−5)x2 + \frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{x} = 2 - \frac{\log{\left(- x - 5 \right)}}{x}
- No
2+log⁡(x−5)x=−2+log⁡(−x−5)x2 + \frac{\log{\left(x - 5 \right)}}{x} = -2 + \frac{\log{\left(- x - 5 \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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