Gráfico de la función y = ln((x-5)/x+2)

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          /x - 5    \
f(x) = log|----- + 2|
          \  x      /

f{\left(x \right)} = \log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)}

f = log(2 + (x - 5)/x)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 0

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = \frac{5}{2}

Solución numérica

x_{1} = 2.5

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((x - 5)/x + 2).

\log{\left(2 - \frac{5}{0} \right)}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}

signof no cruza Y

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

primera derivada

\frac{\frac{1}{x} - \frac{x - 5}{x^{2}}}{2 + \frac{x - 5}{x}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

segunda derivada

- \frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 5}{x}}{2 + \frac{x - 5}{x}} + 2\right)}{x^{2} \left(2 + \frac{x - 5}{x}\right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = \frac{5}{6}

Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:

x_{1} = 0

\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 5}{x}}{2 + \frac{x - 5}{x}} + 2\right)}{x^{2} \left(2 + \frac{x - 5}{x}\right)}\right) = \infty

\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 5}{x}}{2 + \frac{x - 5}{x}} + 2\right)}{x^{2} \left(2 + \frac{x - 5}{x}\right)}\right) = \infty

- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos

\left(-\infty, \frac{5}{6}\right]

Convexa en los intervalos

\left[\frac{5}{6}, \infty\right)

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 0

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = \log{\left(3 \right)}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = \log{\left(3 \right)}

\lim_{x \to \infty} \log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = \log{\left(3 \right)}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = \log{\left(3 \right)}

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((x - 5)/x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = \log{\left(2 - \frac{- x - 5}{x} \right)}

- No

\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = - \log{\left(2 - \frac{- x - 5}{x} \right)}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = ln((x-5)/x+2)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución