Sr Examen

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ln(x+sqrt(x^2+1))
Trazado el gráfico de la función/ ln(x+sqrt(x^2+1))

Gráfico de la función y = ln(x+sqrt(x^2+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /       ________\
          |      /  2     |
f(x) = log\x + \/  x  + 1 /
f(x)=log⁡(x+x2+1)f{\left(x \right)} = \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} 
f = log(x + sqrt(x^2 + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+x2+1)=0\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + sqrt(x^2 + 1)).
log⁡(02+1)\log{\left(\sqrt{0^{2} + 1} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx2+1+1x+x2+1=0\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x2x2+1−1x2+1+(xx2+1+1)2x+x2+1x+x2+1=0- \frac{\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(x+x2+1)=−∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(x+x2+1)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + sqrt(x^2 + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+x2+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+x2+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+x2+1)=log⁡(−x+x2+1)\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} = \log{\left(- x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}
- No
log⁡(x+x2+1)=−log⁡(−x+x2+1)\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} = - \log{\left(- x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(x+sqrt(x^2+1))
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