Integral de ln(x+sqrt(x^2+1)) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x^{2} + 1}$.

      Luego que $du = \frac{x dx}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int 1\, du$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{x^{2} + 1}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$.

      Luego que $du = - \frac{x dx}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{x^{2} + 1}$

3. Ahora simplificar:

   $x \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} - \sqrt{x^{2} + 1}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $x \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} - \sqrt{x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} - \sqrt{x^{2} + 1}+ \mathrm{constant}$