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(-1-exp(-x))*exp(x)/x
Trazado el gráfico de la función/ (-1-exp(-x))*exp(x)/x

Gráfico de la función y = (-1-exp(-x))*exp(x)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /      -x\  x
       \-1 - e  /*e 
f(x) = -------------
             x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - e^{- x}\right) e^{x}}{x}$$ 
f = ((-1 - exp(-x))*exp(x))/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(-1 - e^{- x}\right) e^{x}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((-1 - exp(-x))*exp(x))/x.
$$\frac{\left(-1 - e^{- 0}\right) e^{0}}{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(-1 - e^{- x}\right) e^{x} + 1}{x} - \frac{\left(-1 - e^{- x}\right) e^{x}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right) + 1$$
Signos de extremos en los puntos:
             /            / -1\\       / -1\ 
             |      -1 - W\e  /|  1 + W\e  / 
      / -1\  \-1 - e           /*e           
(1 + W\e  /, -------------------------------)
                             / -1\           
                        1 + W\e  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right) + 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, W\left(e^{-1}\right) + 1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[W\left(e^{-1}\right) + 1, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1 - e^{- x}\right) e^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1 - e^{- x}\right) e^{x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((-1 - exp(-x))*exp(x))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1 - e^{- x}\right) e^{x}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1 - e^{- x}\right) e^{x}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(-1 - e^{- x}\right) e^{x}}{x} = - \frac{\left(- e^{x} - 1\right) e^{- x}}{x}$$
- No
$$\frac{\left(-1 - e^{- x}\right) e^{x}}{x} = \frac{\left(- e^{x} - 1\right) e^{- x}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-1-exp(-x))*exp(x)/x
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