Gráfico de la función y = 1/(ln(x)/(x-3))

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          1    
f(x) = --------
       /log(x)\
       |------|
       \x - 3 /

f{\left(x \right)} = \frac{1}{\frac{1}{x - 3} \log{\left(x \right)}}

f = 1/(log(x)/(x - 3))

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 1

x_{2} = 3

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\frac{1}{\frac{1}{x - 3} \log{\left(x \right)}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = 3

Solución numérica

x_{1} = 0

x_{2} = 3

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(log(x)/(x - 3)).

\frac{1}{\frac{1}{-3} \log{\left(0 \right)}}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = 0

Punto:

(0, 0)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

\frac{\frac{x - 3}{\log{\left(x \right)}} \left(x - 3\right) \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x - 3\right)}\right)}{\log{\left(x \right)}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

\frac{\left(1 - \frac{x - 3}{x \log{\left(x \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3} - \frac{1}{x}\right) + \left(x - 3\right) \left(- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x - 3\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x - 3\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3} - \frac{\left(x - 3\right) \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x - 3} - \frac{1}{x}\right)}{x \log{\left(x \right)}} - \frac{1}{x}}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 1

x_{2} = 3

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\frac{1}{x - 3} \log{\left(x \right)}} = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x - 3} \log{\left(x \right)}} = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(log(x)/(x - 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\frac{1}{\frac{1}{x - 3} \log{\left(x \right)}} = \frac{- x - 3}{\log{\left(- x \right)}}

- No

\frac{1}{\frac{1}{x - 3} \log{\left(x \right)}} = - \frac{- x - 3}{\log{\left(- x \right)}}

- No
es decir, función
no es
par ni impar