Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ -x^2*exp(-x)+2*x*exp(-x)

Gráfico de la función y = -x^2*exp(-x)+2*x*exp(-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         2  -x        -x
f(x) = -x *e   + 2*x*e
f(x)=2xe−x+−x2e−xf{\left(x \right)} = 2 x e^{- x} + - x^{2} e^{- x} 
f = (2*x)*exp(-x) + (-x^2)*exp(-x)
Gráfico de la función
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.80.00.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2xe−x+−x2e−x=02 x e^{- x} + - x^{2} e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=62.0805571210015x_{1} = 62.0805571210015
x2=121.574503449427x_{2} = 121.574503449427
x3=107.633771438231x_{3} = 107.633771438231
x4=44.6582150315442x_{4} = 44.6582150315442
x5=37.2695206513987x_{5} = 37.2695206513987
x6=109.624230413862x_{6} = 109.624230413862
x7=87.7581351198125x_{7} = 87.7581351198125
x8=46.558930992648x_{8} = 46.558930992648
x9=85.774456655146x_{9} = 85.774456655146
x10=113.606309881405x_{10} = 113.606309881405
x11=101.665040427108x_{11} = 101.665040427108
x12=64.0433676432483x_{12} = 64.0433676432483
x13=103.654146483763x_{13} = 103.654146483763
x14=115.597884083738x_{14} = 115.597884083738
x15=50.3963836086947x_{15} = 50.3963836086947
x16=105.643733917975x_{16} = 105.643733917975
x17=56.2145487691854x_{17} = 56.2145487691854
x18=119.581999032425x_{18} = 119.581999032425
x19=52.3289362867604x_{19} = 52.3289362867604
x20=111.615084597457x_{20} = 111.615084597457
x21=42.7734798936756x_{21} = 42.7734798936756
x22=48.4724450240127x_{22} = 48.4724450240127
x23=81.8100523902503x_{23} = 81.8100523902503
x24=97.6884128679652x_{24} = 97.6884128679652
x25=75.8723044353069x_{25} = 75.8723044353069
x26=67.9775817816825x_{26} = 67.9775817816825
x27=2x_{27} = 2
x28=35.518234582377x_{28} = 35.518234582377
x29=91.7280565000326x_{29} = 91.7280565000326
x30=40.9091112925386x_{30} = 40.9091112925386
x31=39.0713592767794x_{31} = 39.0713592767794
x32=83.7917334746358x_{32} = 83.7917334746358
x33=77.8502200597028x_{33} = 77.8502200597028
x34=73.8959068817062x_{34} = 73.8959068817062
x35=69.9483432722062x_{35} = 69.9483432722062
x36=89.7426914756113x_{36} = 89.7426914756113
x37=93.7141680867988x_{37} = 93.7141680867988
x38=71.9211906076499x_{38} = 71.9211906076499
x39=95.7009703512766x_{39} = 95.7009703512766
x40=117.589786759242x_{40} = 117.589786759242
x41=54.2686954792205x_{41} = 54.2686954792205
x42=58.165604409395x_{42} = 58.165604409395
x43=79.8295111187539x_{43} = 79.8295111187539
x44=66.0091582728753x_{44} = 66.0091582728753
x45=0x_{45} = 0
x46=99.6764500177863x_{46} = 99.6764500177863
x47=60.1211385583235x_{47} = 60.1211385583235
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x^2)*exp(-x) + (2*x)*exp(-x).
−02e−0+0⋅2e−0- 0^{2} e^{- 0} + 0 \cdot 2 e^{- 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2e−x−4xe−x+2e−x=0x^{2} e^{- x} - 4 x e^{- x} + 2 e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2−2x_{1} = 2 - \sqrt{2}
x2=2+2x_{2} = \sqrt{2} + 2
Signos de extremos en los puntos:
                                  ___              2         ___ 
       ___  /        ___\  -2 + \/ 2    /      ___\   -2 + \/ 2  
(2 - \/ 2, \4 - 2*\/ 2 /*e           - \2 - \/ 2 / *e          )

                                  ___              2         ___ 
       ___  /        ___\  -2 - \/ 2    /      ___\   -2 - \/ 2  
(2 + \/ 2, \4 + 2*\/ 2 /*e           - \2 + \/ 2 / *e          )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2+2x_{1} = \sqrt{2} + 2
Puntos máximos de la función:
x1=2−2x_{1} = 2 - \sqrt{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,2−2]∪[2+2,∞)\left(-\infty, 2 - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2} + 2, \infty\right)
Crece en los intervalos
[2−2,2+2]\left[2 - \sqrt{2}, \sqrt{2} + 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−x2+6x−6)e−x=0\left(- x^{2} + 6 x - 6\right) e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3−3x_{1} = 3 - \sqrt{3}
x2=3+3x_{2} = \sqrt{3} + 3

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3−3,3+3]\left[3 - \sqrt{3}, \sqrt{3} + 3\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,3−3]∪[3+3,∞)\left(-\infty, 3 - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3} + 3, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2xe−x+−x2e−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(2 x e^{- x} + - x^{2} e^{- x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(2xe−x+−x2e−x)=0\lim_{x \to \infty}\left(2 x e^{- x} + - x^{2} e^{- x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^2)*exp(-x) + (2*x)*exp(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2xe−x+−x2e−xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x e^{- x} + - x^{2} e^{- x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(2xe−x+−x2e−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x e^{- x} + - x^{2} e^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2xe−x+−x2e−x=−x2ex−2xex2 x e^{- x} + - x^{2} e^{- x} = - x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}
- No
2xe−x+−x2e−x=x2ex+2xex2 x e^{- x} + - x^{2} e^{- x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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