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Trazado el gráfico de la función/ -2*sin(x/2+pi/6)-4

Gráfico de la función y = -2*sin(x/2+pi/6)-4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /x   pi\    
f(x) = - 2*sin|- + --| - 4
              \2   6 /
f(x)=−2sin⁡(x2+π6)−4f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} - 4 
f = -2*sin(x/2 + pi/6) - 4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2sin⁡(x2+π6)−4=0- 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} - 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -2*sin(x/2 + pi/6) - 4.
−4−2sin⁡(02+π6)-4 - 2 \sin{\left(\frac{0}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}
Resultado:
f(0)=−5f{\left(0 \right)} = -5
Punto:
(0, -5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cos⁡(x2+π6)=0- \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
x2=8π3x_{2} = \frac{8 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 2*pi            /pi   pi\ 
(----, -4 - 2*sin|-- + --|)
  3              \3    6 / 

 8*pi            /pi   pi\ 
(----, -4 + 2*sin|-- + --|)
  3              \3    6 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=8π3x_{1} = \frac{8 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
[2π3,8π3]\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,2π3]∪[8π3,∞)\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{8 \pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(3x+π6)2=0\frac{\sin{\left(\frac{3 x + \pi}{6} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π3,5π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π3]∪[5π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2sin⁡(x2+π6)−4)=⟨−6,−2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} - 4\right) = \left\langle -6, -2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−6,−2⟩y = \left\langle -6, -2\right\rangle
lim⁡x→∞(−2sin⁡(x2+π6)−4)=⟨−6,−2⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} - 4\right) = \left\langle -6, -2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−6,−2⟩y = \left\langle -6, -2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -2*sin(x/2 + pi/6) - 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2sin⁡(x2+π6)−4x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} - 4}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2sin⁡(x2+π6)−4x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} - 4}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2sin⁡(x2+π6)−4=2sin⁡(x2−π6)−4- 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} - 4 = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)} - 4
- No
−2sin⁡(x2+π6)−4=4−2sin⁡(x2−π6)- 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} - 4 = 4 - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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