Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cosh(x)/x

Gráfico de la función y = cosh(x)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       cosh(x)
f(x) = -------
          x
f(x)=cosh⁡(x)xf{\left(x \right)} = \frac{\cosh{\left(x \right)}}{x} 
f = cosh(x)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cosh⁡(x)x=0\frac{\cosh{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cosh(x)/x.
cosh⁡(0)0\frac{\cosh{\left(0 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sinh⁡(x)x−cosh⁡(x)x2=0\frac{\sinh{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cosh{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.19967864025773x_{1} = -1.19967864025773
x2=1.19967864025773x_{2} = 1.19967864025773
x3=1.19967864025779x_{3} = 1.19967864025779
x4=−1.19967864025773x_{4} = -1.19967864025773
Signos de extremos en los puntos:
(-1.199678640257734, -1.50887956153832)

(1.1996786402577337, 1.50887956153832)

(1.199678640257792, 1.50887956153832)

(-1.1996786402577337, -1.50887956153832)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1.19967864025773x_{1} = 1.19967864025773
x2=1.19967864025779x_{2} = 1.19967864025779
Puntos máximos de la función:
x2=−1.19967864025773x_{2} = -1.19967864025773
x2=−1.19967864025773x_{2} = -1.19967864025773
Decrece en los intervalos
[1.19967864025779,∞)\left[1.19967864025779, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−1.19967864025773,1.19967864025773]\left[-1.19967864025773, 1.19967864025773\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
cosh⁡(x)−2sinh⁡(x)x+2cosh⁡(x)x2x=0\frac{\cosh{\left(x \right)} - \frac{2 \sinh{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cosh{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cosh⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cosh{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(cosh⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cosh{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cosh(x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cosh⁡(x)x2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cosh{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(cosh⁡(x)x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cosh{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cosh⁡(x)x=−cosh⁡(x)x\frac{\cosh{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\cosh{\left(x \right)}}{x}
- No
cosh⁡(x)x=cosh⁡(x)x\frac{\cosh{\left(x \right)}}{x} = \frac{\cosh{\left(x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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