Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(x+10)^11/x-11x+7

Gráfico de la función y = ln(x+10)^11/x-11x+7

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          11                   
       log  (x + 10)           
f(x) = ------------- - 11*x + 7
             x
f(x)=(−11x+log⁡(x+10)11x)+7f{\left(x \right)} = \left(- 11 x + \frac{\log{\left(x + 10 \right)}^{11}}{x}\right) + 7 
f = -11*x + log(x + 10)^11/x + 7
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−11x+log⁡(x+10)11x)+7=0\left(- 11 x + \frac{\log{\left(x + 10 \right)}^{11}}{x}\right) + 7 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−4.70361202409323x_{1} = -4.70361202409323
x2=−4.70361202409323x_{2} = -4.70361202409323
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + 10)^11/x - 11*x + 7.
(log⁡(10)110−0)+7\left(\frac{\log{\left(10 \right)}^{11}}{0} - 0\right) + 7
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−11+11log⁡(x+10)10x(x+10)−log⁡(x+10)11x2=0-11 + \frac{11 \log{\left(x + 10 \right)}^{10}}{x \left(x + 10\right)} - \frac{\log{\left(x + 10 \right)}^{11}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=29266.8609424761x_{1} = 29266.8609424761
x2=3.06075546177135x_{2} = 3.06075546177135
Signos de extremos en los puntos:
(29266.860942476076, 4330324.99699419)

(3.0607554617713455, 10510.2685067323)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=29266.8609424761x_{1} = 29266.8609424761
x2=3.06075546177135x_{2} = 3.06075546177135
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[29266.8609424761,∞)\left[29266.8609424761, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,3.06075546177135]\left(-\infty, 3.06075546177135\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−11log⁡(x+10)(x+10)2+110(x+10)2−22log⁡(x+10)x(x+10)+2log⁡(x+10)2x2)log⁡(x+10)9x=0\frac{\left(- \frac{11 \log{\left(x + 10 \right)}}{\left(x + 10\right)^{2}} + \frac{110}{\left(x + 10\right)^{2}} - \frac{22 \log{\left(x + 10 \right)}}{x \left(x + 10\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 10 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) \log{\left(x + 10 \right)}^{9}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=82.9717681087275x_{1} = 82.9717681087275
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−((−11log⁡(x+10)(x+10)2+110(x+10)2−22log⁡(x+10)x(x+10)+2log⁡(x+10)2x2)log⁡(x+10)9x)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(- \frac{11 \log{\left(x + 10 \right)}}{\left(x + 10\right)^{2}} + \frac{110}{\left(x + 10\right)^{2}} - \frac{22 \log{\left(x + 10 \right)}}{x \left(x + 10\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 10 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) \log{\left(x + 10 \right)}^{9}}{x}\right) = -\infty
lim⁡x→0+((−11log⁡(x+10)(x+10)2+110(x+10)2−22log⁡(x+10)x(x+10)+2log⁡(x+10)2x2)log⁡(x+10)9x)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- \frac{11 \log{\left(x + 10 \right)}}{\left(x + 10\right)^{2}} + \frac{110}{\left(x + 10\right)^{2}} - \frac{22 \log{\left(x + 10 \right)}}{x \left(x + 10\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 10 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) \log{\left(x + 10 \right)}^{9}}{x}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[82.9717681087275,∞)\left[82.9717681087275, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,82.9717681087275]\left(-\infty, 82.9717681087275\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−11x+log⁡(x+10)11x)+7)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 11 x + \frac{\log{\left(x + 10 \right)}^{11}}{x}\right) + 7\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−11x+log⁡(x+10)11x)+7)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 11 x + \frac{\log{\left(x + 10 \right)}^{11}}{x}\right) + 7\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + 10)^11/x - 11*x + 7, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−11x+log⁡(x+10)11x)+7x)=−11\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 11 x + \frac{\log{\left(x + 10 \right)}^{11}}{x}\right) + 7}{x}\right) = -11
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−11xy = - 11 x
lim⁡x→∞((−11x+log⁡(x+10)11x)+7x)=−11\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 11 x + \frac{\log{\left(x + 10 \right)}^{11}}{x}\right) + 7}{x}\right) = -11
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−11xy = - 11 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−11x+log⁡(x+10)11x)+7=11x+7−log⁡(10−x)11x\left(- 11 x + \frac{\log{\left(x + 10 \right)}^{11}}{x}\right) + 7 = 11 x + 7 - \frac{\log{\left(10 - x \right)}^{11}}{x}
- No
(−11x+log⁡(x+10)11x)+7=−11x−7+log⁡(10−x)11x\left(- 11 x + \frac{\log{\left(x + 10 \right)}^{11}}{x}\right) + 7 = - 11 x - 7 + \frac{\log{\left(10 - x \right)}^{11}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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