Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\left(- \frac{11 \log{\left(x + 10 \right)}}{\left(x + 10\right)^{2}} + \frac{110}{\left(x + 10\right)^{2}} - \frac{22 \log{\left(x + 10 \right)}}{x \left(x + 10\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 10 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) \log{\left(x + 10 \right)}^{9}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 82.9717681087275$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(- \frac{11 \log{\left(x + 10 \right)}}{\left(x + 10\right)^{2}} + \frac{110}{\left(x + 10\right)^{2}} - \frac{22 \log{\left(x + 10 \right)}}{x \left(x + 10\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 10 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) \log{\left(x + 10 \right)}^{9}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- \frac{11 \log{\left(x + 10 \right)}}{\left(x + 10\right)^{2}} + \frac{110}{\left(x + 10\right)^{2}} - \frac{22 \log{\left(x + 10 \right)}}{x \left(x + 10\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 10 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) \log{\left(x + 10 \right)}^{9}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[82.9717681087275, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 82.9717681087275\right]$$