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Trazado el gráfico de la función/ sign(1-x^2)

Gráfico de la función y = sign(1-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /     2\
f(x) = sign\1 - x /
f(x)=sign⁡(1−x2)f{\left(x \right)} = \operatorname{sign}{\left(1 - x^{2} \right)} 
f = sign(1 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sign⁡(1−x2)=0\operatorname{sign}{\left(1 - x^{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sign(1 - x^2).
sign⁡(1−02)\operatorname{sign}{\left(1 - 0^{2} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(2x2δ(1)(x2−1)+δ(x2−1))=0- 4 \left(2 x^{2} \delta^{\left( 1 \right)}\left( x^{2} - 1 \right) + \delta\left(x^{2} - 1\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sign⁡(1−x2)=−1\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sign}{\left(1 - x^{2} \right)} = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞sign⁡(1−x2)=−1\lim_{x \to \infty} \operatorname{sign}{\left(1 - x^{2} \right)} = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−1y = -1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sign(1 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sign⁡(1−x2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(1 - x^{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sign⁡(1−x2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(1 - x^{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sign⁡(1−x2)=sign⁡(1−x2)\operatorname{sign}{\left(1 - x^{2} \right)} = \operatorname{sign}{\left(1 - x^{2} \right)}
- Sí
sign⁡(1−x2)=−sign⁡(1−x2)\operatorname{sign}{\left(1 - x^{2} \right)} = - \operatorname{sign}{\left(1 - x^{2} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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