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Trazado el gráfico de la función/ signsin(pi/x)

Gráfico de la función y = signsin(pi/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /   /pi\\
f(x) = sign|sin|--||
           \   \x //
f(x)=sign⁡(sin⁡(πx))f{\left(x \right)} = \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)} 
f = sign(sin(pi/x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sign⁡(sin⁡(πx))=0\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sign(sin(pi/x)).
sign⁡(sin⁡(π0))\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{0} \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=sign⁡(sin⁡(π0))f{\left(0 \right)} = \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{0} \right)} \right)}
Punto:
(0, sign(sin(pi/0)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ddxsign⁡(sin⁡(πx))=0\frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sign⁡(sin⁡(πx))=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞sign⁡(sin⁡(πx))=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sign(sin(pi/x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sign⁡(sin⁡(πx))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sign⁡(sin⁡(πx))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sign⁡(sin⁡(πx))=−sign⁡(sin⁡(πx))\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)} = - \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)}
- No
sign⁡(sin⁡(πx))=sign⁡(sin⁡(πx))\operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)} = \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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