Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sign(cbrt(x-2))

Gráfico de la función y = sign(cbrt(x-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /3 _______\
f(x) = sign\\/ x - 2 /
f(x)=sign⁡(x−23)f{\left(x \right)} = \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{x - 2} \right)} 
f = sign((x - 2)^(1/3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.001.01
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sign((x - 2)^(1/3)).
sign⁡(−23)\operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-2} \right)}
Resultado:
f(0)=−13f{\left(0 \right)} = \sqrt[3]{-1}
Punto:
(0, (-1)^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ddxsign⁡(x−23)=0\frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{x - 2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
d2dx2sign⁡(x−23)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{x - 2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sign⁡(x−23)=sign⁡(−13)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{x - 2} \right)} = \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=sign⁡(−13)y = \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}
lim⁡x→∞sign⁡(x−23)=1\lim_{x \to \infty} \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{x - 2} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sign((x - 2)^(1/3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sign⁡(x−23)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sign⁡(x−23)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{x - 2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sign⁡(x−23)=sign⁡(−x−23)\operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{x - 2} \right)} = \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{- x - 2} \right)}
- No
sign⁡(x−23)=−sign⁡(−x−23)\operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{x - 2} \right)} = - \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{- x - 2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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