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Trazado el gráfico de la función/ sign(|x^2-1|/(x-1))

Gráfico de la función y = sign(|x^2-1|/(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /| 2    |\
           ||x  - 1||
f(x) = sign|--------|
           \ x - 1  /
f(x)=sign⁡(∣x2−1∣x−1)f{\left(x \right)} = \operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{x - 1} \right)} 
f = sign(|x^2 - 1|/(x - 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sign⁡(∣x2−1∣x−1)=0\operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{x - 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sign(|x^2 - 1|/(x - 1)).
sign⁡(∣−1+02∣−1)\operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{-1 + 0^{2}}\right|}{-1} \right)}
Resultado:
f(0)=∣−1+02∣−1f{\left(0 \right)} = \frac{\left|{-1 + 0^{2}}\right|}{-1}
Punto:
(0, |0^2 - 1|/(-1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ddxsign⁡(∣x2−1∣x−1)=0\frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{x - 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sign⁡(∣x2−1∣x−1)=−1\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{x - 1} \right)} = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞sign⁡(∣x2−1∣x−1)=1\lim_{x \to \infty} \operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{x - 1} \right)} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sign(|x^2 - 1|/(x - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sign⁡(∣x2−1∣x−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{x - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sign⁡(∣x2−1∣x−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{x - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sign⁡(∣x2−1∣x−1)=sign⁡(∣x2−1∣−x−1)\operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{x - 1} \right)} = \operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{- x - 1} \right)}
- No
sign⁡(∣x2−1∣x−1)=−sign⁡(∣x2−1∣−x−1)\operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{x - 1} \right)} = - \operatorname{sign}{\left(\frac{\left|{x^{2} - 1}\right|}{- x - 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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