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Trazado el gráfico de la función/ sign(x^2-4)x^2

Gráfico de la función y = sign(x^2-4)x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 2    \  2
f(x) = sign\x  - 4/*x
f(x)=x2sign⁡(x2−4)f{\left(x \right)} = x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)} 
f = x^2*sign(x^2 - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sign(x^2 - 4)*x^2.
02sign⁡(−4+02)0^{2} \operatorname{sign}{\left(-4 + 0^{2} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3δ(x2−4)+2xsign⁡(x2−4)=04 x^{3} \delta\left(x^{2} - 4\right) + 2 x \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2x2(2x2δ(1)(x2−4)+δ(x2−4))+8x2δ(x2−4)+sign⁡(x2−4))=02 \left(2 x^{2} \left(2 x^{2} \delta^{\left( 1 \right)}\left( x^{2} - 4 \right) + \delta\left(x^{2} - 4\right)\right) + 8 x^{2} \delta\left(x^{2} - 4\right) + \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2sign⁡(x2−4))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2sign⁡(x2−4))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sign(x^2 - 4)*x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xsign⁡(x2−4))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(xsign⁡(x2−4))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2sign⁡(x2−4)=x2sign⁡(x2−4)x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)} = x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}
- Sí
x2sign⁡(x2−4)=−x2sign⁡(x2−4)x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)} = - x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}
- No
es decir, función
es
par
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