Sr Examen

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log(1+x)/x
Trazado el gráfico de la función/ log(1+x)/x

Gráfico de la función y = log(1+x)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(1 + x)
f(x) = ----------
           x
f(x)=log⁡(x+1)xf{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} 
f = log(x + 1)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+1)x=0\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1 + x)/x.
log⁡(1)0\frac{\log{\left(1 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x(x+1)−log⁡(x+1)x2=0\frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1(x+1)2−2x(x+1)+2log⁡(x+1)x2x=0\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=56842.7301606877x_{1} = 56842.7301606877
x2=37914.9193459999x_{2} = 37914.9193459999
x3=50199.1838391151x_{3} = 50199.1838391151
x4=31139.1145736486x_{4} = 31139.1145736486
x5=59049.9218377139x_{5} = 59049.9218377139
x6=24288.2366369754x_{6} = 24288.2366369754
x7=46863.6592280305x_{7} = 46863.6592280305
x8=57946.7549020607x_{8} = 57946.7549020607
x9=41280.8058771747x_{9} = 41280.8058771747
x10=43517.743368545x_{10} = 43517.743368545
x11=26581.8138384067x_{11} = 26581.8138384067
x12=25436.3998158521x_{12} = 25436.3998158521
x13=34535.0195002856x_{13} = 34535.0195002856
x14=44634.2692667139x_{14} = 44634.2692667139
x15=32273.0050983156x_{15} = 32273.0050983156
x16=42399.938133285x_{16} = 42399.938133285
x17=47976.6048424461x_{17} = 47976.6048424461
x18=30003.1682628992x_{18} = 30003.1682628992
x19=39038.352976231x_{19} = 39038.352976231
x20=53525.2713237633x_{20} = 53525.2713237633
x21=33404.9421877672x_{21} = 33404.9421877672
x22=36789.9319288549x_{22} = 36789.9319288549
x23=45749.5605484089x_{23} = 45749.5605484089
x24=49088.4346551584x_{24} = 49088.4346551584
x25=27724.6479781848x_{25} = 27724.6479781848
x26=40160.2956637292x_{26} = 40160.2956637292
x27=35663.3230205899x_{27} = 35663.3230205899
x28=54632.0133253451x_{28} = 54632.0133253451
x29=28865.0539204223x_{29} = 28865.0539204223
x30=55737.8244154703x_{30} = 55737.8244154703
x31=51308.8856408445x_{31} = 51308.8856408445
x32=52417.5715282122x_{32} = 52417.5715282122
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−1(x+1)2−2x(x+1)+2log⁡(x+1)x2x)=23\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{2}{3}
lim⁡x→0+(−1(x+1)2−2x(x+1)+2log⁡(x+1)x2x)=23\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \frac{2}{3}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1 + x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+1)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+1)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+1)x=−log⁡(1−x)x\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x}
- No
log⁡(x+1)x=log⁡(1−x)x\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} = \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = log(1+x)/x
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