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Trazado el gráfico de la función/ (-cos(5*x)-sin(5*x))*exp(4*x)

Gráfico de la función y = (-cos(5*x)-sin(5*x))*exp(4*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                               4*x
f(x) = (-cos(5*x) - sin(5*x))*e
$$f{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(5 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{4 x}$$ 
f = (-sin(5*x) - cos(5*x))*exp(4*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-cos(5*x) - sin(5*x))*exp(4*x).
$$\left(- \cos{\left(0 \cdot 5 \right)} - \sin{\left(0 \cdot 5 \right)}\right) e^{0 \cdot 4}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 \left(- \sin{\left(5 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{4 x} + \left(5 \sin{\left(5 x \right)} - 5 \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{4 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(9 \right)}}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
                     4*atan(9) 
                     --------- 
               ____      5     
 atan(9)  -5*\/ 82 *e          
(-------, --------------------)
    5              41


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(9 \right)}}{5}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(9 \right)}}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(9 \right)}}{5}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(5 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{4 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(5 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{4 x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-cos(5*x) - sin(5*x))*exp(4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(5 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{4 x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(5 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{4 x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- \sin{\left(5 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{4 x} = \left(\sin{\left(5 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{- 4 x}$$
- No
$$\left(- \sin{\left(5 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{4 x} = - \left(\sin{\left(5 x \right)} - \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{- 4 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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