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Trazado el gráfico de la función/ logx(sqrt(x^2+x+1))

Gráfico de la función y = logx(sqrt(x^2+x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 ____________
                /  2         
f(x) = log(x)*\/  x  + x + 1
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 1} \log{\left(x \right)}$$ 
f = sqrt(x^2 + x + 1)*log(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 1} \log{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)*sqrt(x^2 + x + 1).
$$\sqrt{0^{2} + 1} \log{\left(0 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x + \frac{1}{2}\right) \log{\left(x \right)}}{\sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 1}} + \frac{\sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 1}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x + 1} - 4\right) \log{\left(x \right)}}{4 \sqrt{x^{2} + x + 1}} + \frac{2 x + 1}{x \sqrt{x^{2} + x + 1}} - \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 1} \log{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 1} \log{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)*sqrt(x^2 + x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 1} \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 1} \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 1} \log{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} - x + 1} \log{\left(- x \right)}$$
- No
$$\sqrt{\left(x^{2} + x\right) + 1} \log{\left(x \right)} = - \sqrt{x^{2} - x + 1} \log{\left(- x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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