Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)^4

Gráfico de la función y = sin(x)^4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          4   
f(x) = sin (x)
f(x)=sin⁡4(x)f{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} 
f = sin(x)^4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡4(x)=0\sin^{4}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=78.5390461988625x_{1} = 78.5390461988625
x2=12.5655386528631x_{2} = 12.5655386528631
x3=−97.3903038626381x_{3} = -97.3903038626381
x4=59.691175606583x_{4} = 59.691175606583
x5=65.9735389544475x_{5} = 65.9735389544475
x6=−6.28233370088717x_{6} = -6.28233370088717
x7=−9.42563019128159x_{7} = -9.42563019128159
x8=15.7088363188216x_{8} = 15.7088363188216
x9=−100.530131852098x_{9} = -100.530131852098
x10=−53.4079673694574x_{10} = -53.4079673694574
x11=50.2654378689882x_{11} = 50.2654378689882
x12=−15.7080840961257x_{12} = -15.7080840961257
x13=−6.28329572483107x_{13} = -6.28329572483107
x14=−59.6904316816828x_{14} = -59.6904316816828
x15=−75.399135702077x_{15} = -75.399135702077
x16=87.964718403403x_{16} = 87.964718403403
x17=97.3894444037214x_{17} = 97.3894444037214
x18=6.283089833683x_{18} = 6.283089833683
x19=−78.5408115487035x_{19} = -78.5408115487035
x20=−276.460396846785x_{20} = -276.460396846785
x21=−65.9735393756143x_{21} = -65.9735393756143
x22=21.991179696756x_{22} = 21.991179696756
x23=72.2566119325769x_{23} = 72.2566119325769
x24=−50.2646745128884x_{24} = -50.2646745128884
x25=−87.9647198526024x_{25} = -87.9647198526024
x26=43.982359365339x_{26} = 43.982359365339
x27=−31.4167988656097x_{27} = -31.4167988656097
x28=−72.2558453147736x_{28} = -72.2558453147736
x29=97.3891235063633x_{29} = 97.3891235063633
x30=−81.681605304824x_{30} = -81.681605304824
x31=−43.98235944366x_{31} = -43.98235944366
x32=37.7000060867127x_{32} = 37.7000060867127
x33=−28.2735039765954x_{33} = -28.2735039765954
x34=−94.2470163876969x_{34} = -94.2470163876969
x35=100.530215717383x_{35} = 100.530215717383
x36=−37.6992579404428x_{36} = -37.6992579404428
x37=−21.9911797014772x_{37} = -21.9911797014772
x38=94.247786003435x_{38} = 94.247786003435
x39=34.556707666247x_{39} = 34.556707666247
x40=81.682344881864x_{40} = 81.682344881864
x41=56.5478768483803x_{41} = 56.5478768483803
x42=0x_{42} = 0
x43=28.2742638291305x_{43} = 28.2742638291305
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^4.
sin⁡4(0)\sin^{4}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4sin⁡3(x)cos⁡(x)=04 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi     
(----, 1)
  2      

 pi    
(--, 1)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(−sin⁡2(x)+3cos⁡2(x))sin⁡2(x)=04 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2π3x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x4=π3x_{4} = \frac{\pi}{3}
x5=2π3x_{5} = \frac{2 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2π3,∞)\left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π3]∪[π3,2π3]\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡4(x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{4}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡4(x)=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{4}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡4(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡4(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡4(x)=sin⁡4(x)\sin^{4}{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)}
- Sí
sin⁡4(x)=−sin⁡4(x)\sin^{4}{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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