Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ctg((x+1)/2)

Gráfico de la función y = ctg((x+1)/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x + 1\
f(x) = cot|-----|
          \  2  /
f(x)=cot⁡(x+12)f{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{x + 1}{2} \right)} 
f = cot((x + 1)/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(x+12)=0\cot{\left(\frac{x + 1}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1+πx_{1} = -1 + \pi
Solución numérica
x1=−79.5398163397448x_{1} = -79.5398163397448
x2=52.4070751110265x_{2} = 52.4070751110265
x3=−29.2743338823081x_{3} = -29.2743338823081
x4=77.5398163397448x_{4} = 77.5398163397448
x5=−35.5575191894877x_{5} = -35.5575191894877
x6=14.707963267949x_{6} = 14.707963267949
x7=39.8407044966673x_{7} = 39.8407044966673
x8=27.2743338823081x_{8} = 27.2743338823081
x9=33.5575191894877x_{9} = 33.5575191894877
x10=−92.106186954104x_{10} = -92.106186954104
x11=−73.2566310325652x_{11} = -73.2566310325652
x12=20.9911485751286x_{12} = 20.9911485751286
x13=83.8230016469244x_{13} = 83.8230016469244
x14=8.42477796076938x_{14} = 8.42477796076938
x15=−16.707963267949x_{15} = -16.707963267949
x16=−54.4070751110265x_{16} = -54.4070751110265
x17=−98.3893722612836x_{17} = -98.3893722612836
x18=46.1238898038469x_{18} = 46.1238898038469
x19=−22.9911485751286x_{19} = -22.9911485751286
x20=102.672557568463x_{20} = 102.672557568463
x21=96.3893722612836x_{21} = 96.3893722612836
x22=−41.8407044966673x_{22} = -41.8407044966673
x23=−4.14159265358979x_{23} = -4.14159265358979
x24=−10.4247779607694x_{24} = -10.4247779607694
x25=−60.6902604182061x_{25} = -60.6902604182061
x26=58.6902604182061x_{26} = 58.6902604182061
x27=90.106186954104x_{27} = 90.106186954104
x28=71.2566310325652x_{28} = 71.2566310325652
x29=2.14159265358979x_{29} = 2.14159265358979
x30=−85.8230016469244x_{30} = -85.8230016469244
x31=−48.1238898038469x_{31} = -48.1238898038469
x32=64.9734457253857x_{32} = 64.9734457253857
x33=−66.9734457253857x_{33} = -66.9734457253857
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot((x + 1)/2).
cot⁡(12)\cot{\left(\frac{1}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=cot⁡(12)f{\left(0 \right)} = \cot{\left(\frac{1}{2} \right)}
Punto:
(0, cot(1/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cot⁡2(x+12)2−12=0- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x + 1}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(cot⁡2(x+12)+1)cot⁡(x+12)2=0\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x + 1}{2} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{x + 1}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+πx_{1} = -1 + \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1+π]\left(-\infty, -1 + \pi\right]
Convexa en los intervalos
[−1+π,∞)\left[-1 + \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(x+12)=−cot⁡(∞)\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(\frac{x + 1}{2} \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−cot⁡(∞)y = - \cot{\left(\infty \right)}
lim⁡x→∞cot⁡(x+12)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left(\frac{x + 1}{2} \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot((x + 1)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡(x+12)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x + 1}{2} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(x+12)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x + 1}{2} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(x+12)=−cot⁡(x2−12)\cot{\left(\frac{x + 1}{2} \right)} = - \cot{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right)}
- No
cot⁡(x+12)=cot⁡(x2−12)\cot{\left(\frac{x + 1}{2} \right)} = \cot{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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