Sr Examen

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2*sin(5*x)
Trazado el gráfico de la función/ 2*sin(5*x)

Gráfico de la función y = 2*sin(5*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*sin(5*x)
f(x)=2sin⁡(5x)f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(5 x \right)} 
f = 2*sin(5*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(5x)=02 \sin{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π5x_{2} = \frac{\pi}{5}
Solución numérica
x1=−11.9380520836412x_{1} = -11.9380520836412
x2=30.159289474462x_{2} = 30.159289474462
x3=189.752196276824x_{3} = 189.752196276824
x4=96.1327351998477x_{4} = 96.1327351998477
x5=42.0973415581032x_{5} = 42.0973415581032
x6=92.3628240155399x_{6} = 92.3628240155399
x7=67.8584013175395x_{7} = 67.8584013175395
x8=5.65486677646163x_{8} = 5.65486677646163
x9=−55.9203492338983x_{9} = -55.9203492338983
x10=52.1504380495906x_{10} = 52.1504380495906
x11=76.026542216873x_{11} = 76.026542216873
x12=−1.88495559215388x_{12} = -1.88495559215388
x13=−49.6371639267187x_{13} = -49.6371639267187
x14=−57.8053048260522x_{14} = -57.8053048260522
x15=−33.9292006587698x_{15} = -33.9292006587698
x16=−3.76991118430775x_{16} = -3.76991118430775
x17=86.0796387083603x_{17} = 86.0796387083603
x18=−86.0796387083603x_{18} = -86.0796387083603
x19=−64.0884901332318x_{19} = -64.0884901332318
x20=28.2743338823081x_{20} = 28.2743338823081
x21=5.02654824574367x_{21} = 5.02654824574367
x22=−10.0530964914873x_{22} = -10.0530964914873
x23=50.2654824574367x_{23} = 50.2654824574367
x24=10.0530964914873x_{24} = 10.0530964914873
x25=−13.8230076757951x_{25} = -13.8230076757951
x26=−89.8495498926681x_{26} = -89.8495498926681
x27=45.867252742411x_{27} = 45.867252742411
x28=40.2123859659494x_{28} = 40.2123859659494
x29=65.9734457253857x_{29} = 65.9734457253857
x30=0x_{30} = 0
x31=20.1061929829747x_{31} = 20.1061929829747
x32=−74.1415866247191x_{32} = -74.1415866247191
x33=−27.6460153515902x_{33} = -27.6460153515902
x34=−45.867252742411x_{34} = -45.867252742411
x35=−52.7787565803085x_{35} = -52.7787565803085
x36=38.3274303737955x_{36} = 38.3274303737955
x37=21.9911485751286x_{37} = 21.9911485751286
x38=32.0442450666159x_{38} = 32.0442450666159
x39=−91.734505484822x_{39} = -91.734505484822
x40=−25.7610597594363x_{40} = -25.7610597594363
x41=−37.6991118430775x_{41} = -37.6991118430775
x42=−93.6194610769758x_{42} = -93.6194610769758
x43=−81.6814089933346x_{43} = -81.6814089933346
x44=55.9203492338983x_{44} = 55.9203492338983
x45=−21.9911485751286x_{45} = -21.9911485751286
x46=−87.9645943005142x_{46} = -87.9645943005142
x47=98.0176907920015x_{47} = 98.0176907920015
x48=101.159283445591x_{48} = 101.159283445591
x49=−54.0353936417444x_{49} = -54.0353936417444
x50=11.3097335529233x_{50} = 11.3097335529233
x51=84.1946831162065x_{51} = 84.1946831162065
x52=64.0884901332318x_{52} = 64.0884901332318
x53=62.2035345410779x_{53} = 62.2035345410779
x54=−43.9822971502571x_{54} = -43.9822971502571
x55=26.3893782901543x_{55} = 26.3893782901543
x56=18.2212373908208x_{56} = 18.2212373908208
x57=−77.9114978090269x_{57} = -77.9114978090269
x58=52.7787565803085x_{58} = 52.7787565803085
x59=77.9114978090269x_{59} = 77.9114978090269
x60=54.0353936417444x_{60} = 54.0353936417444
x61=−23.8761041672824x_{61} = -23.8761041672824
x62=74.1415866247191x_{62} = 74.1415866247191
x63=−35.8141562509236x_{63} = -35.8141562509236
x64=94.2477796076938x_{64} = 94.2477796076938
x65=−59.6902604182061x_{65} = -59.6902604182061
x66=87.9645943005142x_{66} = 87.9645943005142
x67=70.3716754404114x_{67} = 70.3716754404114
x68=−71.6283125018473x_{68} = -71.6283125018473
x69=33.9292006587698x_{69} = 33.9292006587698
x70=−15.707963267949x_{70} = -15.707963267949
x71=−32.0442450666159x_{71} = -32.0442450666159
x72=8.16814089933346x_{72} = 8.16814089933346
x73=99.9026463841554x_{73} = 99.9026463841554
x74=−98.0176907920015x_{74} = -98.0176907920015
x75=−96.1327351998477x_{75} = -96.1327351998477
x76=6.28318530717959x_{76} = 6.28318530717959
x77=60.318578948924x_{77} = 60.318578948924
x78=11.9380520836412x_{78} = 11.9380520836412
x79=−67.8584013175395x_{79} = -67.8584013175395
x80=−47.7522083345649x_{80} = -47.7522083345649
x81=−79.7964534011807x_{81} = -79.7964534011807
x82=43.9822971502571x_{82} = 43.9822971502571
x83=82.3097275240526x_{83} = 82.3097275240526
x84=−65.9734457253857x_{84} = -65.9734457253857
x85=−42.0973415581032x_{85} = -42.0973415581032
x86=23.8761041672824x_{86} = 23.8761041672824
x87=−69.7433569096934x_{87} = -69.7433569096934
x88=16.3362817986669x_{88} = 16.3362817986669
x89=−76.026542216873x_{89} = -76.026542216873
x90=−5.65486677646163x_{90} = -5.65486677646163
x91=1.88495559215388x_{91} = 1.88495559215388
x92=89.2212313619501x_{92} = 89.2212313619501
x93=48.3805268652828x_{93} = 48.3805268652828
x94=−99.9026463841554x_{94} = -99.9026463841554
x95=72.2566310325652x_{95} = 72.2566310325652
x96=−20.1061929829747x_{96} = -20.1061929829747
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(5*x).
2sin⁡(0⋅5)2 \sin{\left(0 \cdot 5 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
10cos⁡(5x)=010 \cos{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π10x_{1} = \frac{\pi}{10}
x2=3π10x_{2} = \frac{3 \pi}{10}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 2)
 10    

 3*pi     
(----, -2)
  10


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π10x_{1} = \frac{3 \pi}{10}
Puntos máximos de la función:
x1=π10x_{1} = \frac{\pi}{10}
Decrece en los intervalos
(−∞,π10]∪[3π10,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{10}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π10,3π10]\left[\frac{\pi}{10}, \frac{3 \pi}{10}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−50sin⁡(5x)=0- 50 \sin{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π5x_{2} = \frac{\pi}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π5,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π5]\left[0, \frac{\pi}{5}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(5x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(5 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(5x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(5 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(5*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(5x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(5x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(5x)=−2sin⁡(5x)2 \sin{\left(5 x \right)} = - 2 \sin{\left(5 x \right)}
- No
2sin⁡(5x)=2sin⁡(5x)2 \sin{\left(5 x \right)} = 2 \sin{\left(5 x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2*sin(5*x)
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