Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 3-8*sinx*cosx

Gráfico de la función y = 3-8*sinx*cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3 - 8*sin(x)*cos(x)
f(x)=−8sin⁡(x)cos⁡(x)+3f{\left(x \right)} = - 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 
f = -8*sin(x)*cos(x) + 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−8sin⁡(x)cos⁡(x)+3=0- 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2atan⁡(23−73)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}
x2=−2atan⁡(23+73)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \right)}
x3=−2atan⁡(2−7)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 - \sqrt{7} \right)}
x4=−2atan⁡(2+7)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(2 + \sqrt{7} \right)}
Solución numérica
x1=−74.2514583988509x_{1} = -74.2514583988509
x2=78.9638473792356x_{2} = 78.9638473792356
x3=−52.9830440715357x_{3} = -52.9830440715357
x4=−56.1246367251255x_{4} = -56.1246367251255
x5=−78.1157853002541x_{5} = -78.1157853002541
x6=26.2795065160225x_{6} = 26.2795065160225
x7=−89.9594216667998x_{7} = -89.9594216667998
x8=34.9815502289785x_{8} = 34.9815502289785
x9=−96.2426069739794x_{9} = -96.2426069739794
x10=85.9697669342286x_{10} = 85.9697669342286
x11=72.680662072056x_{11} = 72.680662072056
x12=−100.106933875383x_{12} = -100.106933875383
x13=41.9874697839715x_{13} = 41.9874697839715
x14=−52.2603098237223x_{14} = -52.2603098237223
x15=56.972698804107x_{15} = 56.972698804107
x16=13.7131359016633x_{16} = 13.7131359016633
x17=−71.8325999930745x_{17} = -71.8325999930745
x18=−37.2750808035868x_{18} = -37.2750808035868
x19=−93.8237485682031x_{19} = -93.8237485682031
x20=7.42995059448374x_{20} = 7.42995059448374
x21=9.84880900026012x_{21} = 9.84880900026012
x22=−49.841451417946x_{22} = -49.841451417946
x23=−30.9918954964072x_{23} = -30.9918954964072
x24=73.4033963198694x_{24} = 73.4033963198694
x25=57.6954330519204x_{25} = 57.6954330519204
x26=−81.2573779538439x_{26} = -81.2573779538439
x27=35.7042844767919x_{27} = 35.7042844767919
x28=63.9786183591x_{28} = 63.9786183591
x29=−23.9859759414142x_{29} = -23.9859759414142
x30=−80.5346437060305x_{30} = -80.5346437060305
x31=−83.6762363596203x_{31} = -83.6762363596203
x32=−59.2662293787153x_{32} = -59.2662293787153
x33=−84.3989706074337x_{33} = -84.3989706074337
x34=22.4151796146193x_{34} = 22.4151796146193
x35=53.8311061505172x_{35} = 53.8311061505172
x36=−1.99482736628564x_{36} = -1.99482736628564
x37=−12.1423395748684x_{37} = -12.1423395748684
x38=44.4063281897478x_{38} = 44.4063281897478
x39=−27.8503028428174x_{39} = -27.8503028428174
x40=94.6718106471845x_{40} = 94.6718106471845
x41=−58.5434951309019x_{41} = -58.5434951309019
x42=−67.9682730916713x_{42} = -67.9682730916713
x43=−87.5405632610235x_{43} = -87.5405632610235
x44=92.2529522414082x_{44} = 92.2529522414082
x45=28.6983649217989x_{45} = 28.6983649217989
x46=−36.5523465557734x_{46} = -36.5523465557734
x47=−15.2839322284582x_{47} = -15.2839322284582
x48=−65.5494146858949x_{48} = -65.5494146858949
x49=70.2618036662796x_{49} = 70.2618036662796
x50=−30.2691612485938x_{50} = -30.2691612485938
x51=75.8222547256458x_{51} = 75.8222547256458
x52=100.954995954364x_{52} = 100.954995954364
x53=79.686581627049x_{53} = 79.686581627049
x54=267.459406594623x_{54} = 267.459406594623
x55=−5.85915426768885x_{55} = -5.85915426768885
x56=−34.133488149997x_{56} = -34.133488149997
x57=60.1142914576968x_{57} = 60.1142914576968
x58=12.9904016538499x_{58} = 12.9904016538499
x59=66.3974767648764x_{59} = 66.3974767648764
x60=97.8134033007743x_{60} = 97.8134033007743
x61=31.8399575753887x_{61} = 31.8399575753887
x62=19.9963212088429x_{62} = 19.9963212088429
x63=82.1054400328254x_{63} = 82.1054400328254
x64=16.1319943074397x_{64} = 16.1319943074397
x65=107.960915509357x_{65} = 107.960915509357
x66=88.3886253400049x_{66} = 88.3886253400049
x67=4.28835794089395x_{67} = 4.28835794089395
x68=−9.00074692127864x_{68} = -9.00074692127864
x69=−8.27801267346522x_{69} = -8.27801267346522
x70=−61.6850877844917x_{70} = -61.6850877844917
x71=−45.9771245165427x_{71} = -45.9771245165427
x72=−43.5582661107664x_{72} = -43.5582661107664
x73=29.4210991696123x_{73} = 29.4210991696123
x74=95.3945448949979x_{74} = 95.3945448949979
x75=−39.6939392093632x_{75} = -39.6939392093632
x76=−17.7027906342346x_{76} = -17.7027906342346
x77=48.2706550911511x_{77} = 48.2706550911511
x78=−2.71756161409905x_{78} = -2.71756161409905
x79=−21.5671175356378x_{79} = -21.5671175356378
x80=−14.5611979806448x_{80} = -14.5611979806448
x81=0.424031039490741x_{81} = 0.424031039490741
x82=38.1231428825683x_{82} = 38.1231428825683
x83=50.6895134969274x_{83} = 50.6895134969274
x84=51.4122477447408x_{84} = 51.4122477447408
x85=89.1113595878184x_{85} = 89.1113595878184
x86=6.70721634667033x_{86} = 6.70721634667033
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3 - 8*sin(x)*cos(x).
−8sin⁡(0)cos⁡(0)+3- 8 \sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)} + 3
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8sin⁡2(x)−8cos⁡2(x)=08 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 7)
  4      

 pi     
(--, -1)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
32sin⁡(x)cos⁡(x)=032 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]∪[π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−8sin⁡(x)cos⁡(x)+3)=⟨−5,11⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3\right) = \left\langle -5, 11\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,11⟩y = \left\langle -5, 11\right\rangle
lim⁡x→∞(−8sin⁡(x)cos⁡(x)+3)=⟨−5,11⟩\lim_{x \to \infty}\left(- 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3\right) = \left\langle -5, 11\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,11⟩y = \left\langle -5, 11\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3 - 8*sin(x)*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−8sin⁡(x)cos⁡(x)+3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−8sin⁡(x)cos⁡(x)+3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−8sin⁡(x)cos⁡(x)+3=8sin⁡(x)cos⁡(x)+3- 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 = 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3
- No
−8sin⁡(x)cos⁡(x)+3=−8sin⁡(x)cos⁡(x)−3- 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 = - 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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