Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1+cos(3*x)

Gráfico de la función y = 1+cos(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 1 + cos(3*x)
f(x)=cos⁡(3x)+1f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)} + 1 
f = cos(3*x) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(3x)+1=0\cos{\left(3 x \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Solución numérica
x1=−112.050138233058x_{1} = -112.050138233058
x2=−74.3510259705245x_{2} = -74.3510259705245
x3=−57.5958654038294x_{3} = -57.5958654038294
x4=−32.4631239211685x_{4} = -32.4631239211685
x5=−34.5575190560831x_{5} = -34.5575190560831
x6=−45.0294943910096x_{6} = -45.0294943910096
x7=72.2566310277214x_{7} = 72.2566310277214
x8=59.6902605755492x_{8} = 59.6902605755492
x9=−5.23598790794418x_{9} = -5.23598790794418
x10=−78.5398161963125x_{10} = -78.5398161963125
x11=32.463123974206x_{11} = 32.463123974206
x12=−49.2182850519149x_{12} = -49.2182850519149
x13=68.0678406256452x_{13} = 68.0678406256452
x14=−93.2005821937681x_{14} = -93.2005821937681
x15=34.5575190458158x_{15} = 34.5575190458158
x16=19.8967535532584x_{16} = 19.8967535532584
x17=−3.14159273948893x_{17} = -3.14159273948893
x18=−72.2566308884953x_{18} = -72.2566308884953
x19=55.5014703723413x_{19} = 55.5014703723413
x20=26.1799388481654x_{20} = 26.1799388481654
x21=−11.5191731827034x_{21} = -11.5191731827034
x22=−15.7079632964021x_{22} = -15.7079632964021
x23=21.9911485851801x_{23} = 21.9911485851801
x24=80.6342112833208x_{24} = 80.6342112833208
x25=−24.0855436072883x_{25} = -24.0855436072883
x26=76.4454211314942x_{26} = 76.4454211314942
x27=38.7463092377642x_{27} = 38.7463092377642
x28=40.8407043904405x_{28} = 40.8407043904405
x29=−19.8967529903279x_{29} = -19.8967529903279
x30=15.7079634213668x_{30} = 15.7079634213668
x31=63.8790507130208x_{31} = 63.8790507130208
x32=51.3126798911883x_{32} = 51.3126798911883
x33=74.3510260729228x_{33} = 74.3510260729228
x34=99.4837675171026x_{34} = 99.4837675171026
x35=−70.1622358204673x_{35} = -70.1622358204673
x36=93.2005824359632x_{36} = 93.2005824359632
x37=−55.501470339224x_{37} = -55.501470339224
x38=−97.3893724165565x_{38} = -97.3893724165565
x39=86.9173967892295x_{39} = 86.9173967892295
x40=−53.4070752629576x_{40} = -53.4070752629576
x41=70.1622360266582x_{41} = 70.1622360266582
x42=17.8023584945614x_{42} = 17.8023584945614
x43=−61.7846554919628x_{43} = -61.7846554919628
x44=−51.3126801709688x_{44} = -51.3126801709688
x45=−9.42477810882172x_{45} = -9.42477810882172
x46=−91.1061869787177x_{46} = -91.1061869787177
x47=61.7846556513336x_{47} = 61.7846556513336
x48=−95.2949773207426x_{48} = -95.2949773207426
x49=11.5191732261809x_{49} = 11.5191732261809
x50=−80.6342113974683x_{50} = -80.6342113974683
x51=−26.1799386626996x_{51} = -26.1799386626996
x52=13.6135683335585x_{52} = 13.6135683335585
x53=82.7286063849234x_{53} = 82.7286063849234
x54=−65.973445765171x_{54} = -65.973445765171
x55=−68.0678407687851x_{55} = -68.0678407687851
x56=57.595865484629x_{56} = 57.595865484629
x57=−59.6902604573636x_{57} = -59.6902604573636
x58=−7.33038302030457x_{58} = -7.33038302030457
x59=78.5398162009252x_{59} = 78.5398162009252
x60=−13.6135682453022x_{60} = -13.6135682453022
x61=9.42477808135176x_{61} = 9.42477808135176
x62=−17.8023583238223x_{62} = -17.8023583238223
x63=−30.3687288181742x_{63} = -30.3687288181742
x64=42.9350997066251x_{64} = 42.9350997066251
x65=95.294976948998x_{65} = 95.294976948998
x66=7.33038281101878x_{66} = 7.33038281101878
x67=−47.1238898632468x_{67} = -47.1238898632468
x68=84.8230015250443x_{68} = 84.8230015250443
x69=−21.9911485864683x_{69} = -21.9911485864683
x70=−28.2743337333192x_{70} = -28.2743337333192
x71=−89.0117914375586x_{71} = -89.0117914375586
x72=65.9734457527543x_{72} = 65.9734457527543
x73=−36.6519142867263x_{73} = -36.6519142867263
x74=−82.7286069074292x_{74} = -82.7286069074292
x75=53.4070752151879x_{75} = 53.4070752151879
x76=−99.4837674953423x_{76} = -99.4837674953423
x77=−38.7463098041192x_{77} = -38.7463098041192
x78=28.2743338652382x_{78} = 28.2743338652382
x79=−1.04719735385243x_{79} = -1.04719735385243
x80=36.6519141311518x_{80} = 36.6519141311518
x81=97.3893723442985x_{81} = 97.3893723442985
x82=30.3687289136091x_{82} = 30.3687289136091
x83=−76.4454210695477x_{83} = -76.4454210695477
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 + cos(3*x).
1+cos⁡(0⋅3)1 + \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(3x)=0- 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π3x_{2} = \frac{\pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

 pi    
(--, 0)
 3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π3,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π3]\left[0, \frac{\pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−9cos⁡(3x)=0- 9 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π6,π2]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π6]∪[π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(3x)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(3 x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(3x)+1)=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(3 x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 + cos(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(3x)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(3x)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(3x)+1=cos⁡(3x)+1\cos{\left(3 x \right)} + 1 = \cos{\left(3 x \right)} + 1
- Sí
cos⁡(3x)+1=−cos⁡(3x)−1\cos{\left(3 x \right)} + 1 = - \cos{\left(3 x \right)} - 1
- No
es decir, función
es
par
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