Sr Examen

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1-cos(3*x)
Trazado el gráfico de la función/ 1-cos(3*x)

Gráfico de la función y = 1-cos(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 1 - cos(3*x)
f(x)=1−cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(3 x \right)} 
f = 1 - cos(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−cos⁡(3x)=01 - \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Solución numérica
x1=4.18879026156543x_{1} = 4.18879026156543
x2=−50.2654823108466x_{2} = -50.2654823108466
x3=−29.3215315957413x_{3} = -29.3215315957413
x4=−41.8879015909008x_{4} = -41.8879015909008
x5=−96.3421745469196x_{5} = -96.3421745469196
x6=−73.3038287459741x_{6} = -73.3038287459741
x7=−98.4365696440843x_{7} = -98.4365696440843
x8=8.37758033410453x_{8} = 8.37758033410453
x9=58.6430627071515x_{9} = 58.6430627071515
x10=56.5486676233132x_{10} = 56.5486676233132
x11=90.0589892608483x_{11} = 90.0589892608483
x12=37.6991113434848x_{12} = 37.6991113434848
x13=−441575121.501282x_{13} = -441575121.501282
x14=−58.6430628407171x_{14} = -58.6430628407171
x15=−71.2094336231345x_{15} = -71.2094336231345
x16=−100.530964767287x_{16} = -100.530964767287
x17=100.530964778649x_{17} = 100.530964778649
x18=−12.5663704869723x_{18} = -12.5663704869723
x19=−46.0766921879046x_{19} = -46.0766921879046
x20=33.5103217994214x_{20} = 33.5103217994214
x21=−54.4542724952377x_{21} = -54.4542724952377
x22=83.7758042295396x_{22} = 83.7758042295396
x23=−85.8701992330716x_{23} = -85.8701992330716
x24=−31.4159266859544x_{24} = -31.4159266859544
x25=87.9645943355056x_{25} = 87.9645943355056
x26=31.4159266487811x_{26} = 31.4159266487811
x27=81.6814091524463x_{27} = 81.6814091524463
x28=−10.4719753473561x_{28} = -10.4719753473561
x29=39.7935070730078x_{29} = 39.7935070730078
x30=−56.548667625889x_{30} = -56.548667625889
x31=−4.18879008400713x_{31} = -4.18879008400713
x32=85.8701992926441x_{32} = 85.8701992926441
x33=29.3215313536198x_{33} = 29.3215313536198
x34=−69.115038422181x_{34} = -69.115038422181
x35=12.5663704684363x_{35} = 12.5663704684363
x36=−35.6047172724316x_{36} = -35.6047172724316
x37=98.4365698045197x_{37} = 98.4365698045197
x38=41.8879021332297x_{38} = 41.8879021332297
x39=−77.4926189173344x_{39} = -77.4926189173344
x40=−48.1710872415186x_{40} = -48.1710872415186
x41=75.3982237804204x_{41} = 75.3982237804204
x42=−90.0589893499645x_{42} = -90.0589893499645
x43=54.4542725528033x_{43} = 54.4542725528033
x44=−33.5103217610131x_{44} = -33.5103217610131
x45=16.7551606647126x_{45} = 16.7551606647126
x46=−14.6607657359666x_{46} = -14.6607657359666
x47=−2.09439502690814x_{47} = -2.09439502690814
x48=43.9822971693627x_{48} = 43.9822971693627
x49=−83.7758040750549x_{49} = -83.7758040750549
x50=52.3598774932141x_{50} = 52.3598774932141
x51=−16.755160961199x_{51} = -16.755160961199
x52=−92.1533843995496x_{52} = -92.1533843995496
x53=64.9262482454786x_{53} = 64.9262482454786
x54=35.6047169091797x_{54} = 35.6047169091797
x55=46.076691966571x_{55} = 46.076691966571
x56=94.2477796093527x_{56} = 94.2477796093527
x57=833.569250843322x_{57} = 833.569250843322
x58=−81.6814090376256x_{58} = -81.6814090376256
x59=0x_{59} = 0
x60=14.6607655553299x_{60} = 14.6607655553299
x61=48.1710874363538x_{61} = 48.1710874363538
x62=20.943951173337x_{62} = 20.943951173337
x63=−79.5870139829524x_{63} = -79.5870139829524
x64=−8.37758024222806x_{64} = -8.37758024222806
x65=−43.9822971746469x_{65} = -43.9822971746469
x66=−69.1150389029232x_{66} = -69.1150389029232
x67=77.4926189449124x_{67} = 77.4926189449124
x68=50.2654824463613x_{68} = 50.2654824463613
x69=79.5870140598991x_{69} = 79.5870140598991
x70=98.4365697102782x_{70} = 98.4365697102782
x71=6.28318528432449x_{71} = 6.28318528432449
x72=−67.0206429069494x_{72} = -67.0206429069494
x73=−75.3982238398266x_{73} = -75.3982238398266
x74=73.3038284231128x_{74} = 73.3038284231128
x75=−39.7935069082666x_{75} = -39.7935069082666
x76=−37.6991118769598x_{76} = -37.6991118769598
x77=−6.28318515591421x_{77} = -6.28318515591421
x78=−27.2271364801679x_{78} = -27.2271364801679
x79=−25.1327413022544x_{79} = -25.1327413022544
x80=−35.604716824613x_{80} = -35.604716824613
x81=96.3421746527392x_{81} = 96.3421746527392
x82=62.8318529572331x_{82} = 62.8318529572331
x83=37.6991119985219x_{83} = 37.6991119985219
x84=10.4719753957034x_{84} = 10.4719753957034
x85=−52.3598773942745x_{85} = -52.3598773942745
x86=−23.0383458748855x_{86} = -23.0383458748855
x87=−20.9439509761532x_{87} = -20.9439509761532
x88=−60.7374583801782x_{88} = -60.7374583801782
x89=−94.2477794662643x_{89} = -94.2477794662643
x90=−87.964594359041x_{90} = -87.964594359041
x91=60.7374578111775x_{91} = 60.7374578111775
x92=18.8495558248099x_{92} = 18.8495558248099
x93=161.26842260871x_{93} = 161.26842260871
x94=92.1533846197794x_{94} = 92.1533846197794
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - cos(3*x).
1−cos⁡(0⋅3)1 - \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3sin⁡(3x)=03 \sin{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π3x_{2} = \frac{\pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 pi    
(--, 2)
 3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Decrece en los intervalos
[0,π3]\left[0, \frac{\pi}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π3,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9cos⁡(3x)=09 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π6]∪[π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[π6,π2]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(3x))=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(1−cos⁡(3x))=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(1 - \cos{\left(3 x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - cos(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1−cos⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−cos⁡(3x)=1−cos⁡(3x)1 - \cos{\left(3 x \right)} = 1 - \cos{\left(3 x \right)}
- Sí
1−cos⁡(3x)=cos⁡(3x)−11 - \cos{\left(3 x \right)} = \cos{\left(3 x \right)} - 1
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 1-cos(3*x)
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