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Trazado el gráfico de la función/ x*arctg(x)-0.5*ln(1+x^2)+(2-x)*ln(2-x)+x-2

Gráfico de la función y = x*arctg(x)-0.5*ln(1+x^2)+(2-x)*ln(2-x)+x-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                      /     2\                             
                   log\1 + x /                             
f(x) = x*atan(x) - ----------- + (2 - x)*log(2 - x) + x - 2
                        2
f(x)=(x+((2−x)log⁡(2−x)+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2)))−2f{\left(x \right)} = \left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2 
f = x + (2 - x)*log(2 - x) + x*atan(x) - log(x^2 + 1)/2 - 2
Gráfico de la función
0-90-80-70-60-50-40-30-20-10-100-5001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+((2−x)log⁡(2−x)+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2)))−2=0\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.47678695792364x_{1} = 1.47678695792364
x2=−0.56281911480323x_{2} = -0.56281911480323
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*atan(x) - log(1 + x^2)/2 + (2 - x)*log(2 - x) + x - 2.
−2+((0atan⁡(0)−log⁡(02+1)2)+(2−0)log⁡(2−0))-2 + \left(\left(0 \operatorname{atan}{\left(0 \right)} - \frac{\log{\left(0^{2} + 1 \right)}}{2}\right) + \left(2 - 0\right) \log{\left(2 - 0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=−2+2log⁡(2)f{\left(0 \right)} = -2 + 2 \log{\left(2 \right)}
Punto:
(0, -2 + 2*log(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(2−x)+atan⁡(x)=0- \log{\left(2 - x \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.460436490686702x_{1} = 0.460436490686702
Signos de extremos en los puntos:
(0.46043649068670245, -0.772702298537309)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.460436490686702x_{1} = 0.460436490686702
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0.460436490686702,∞)\left[0.460436490686702, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0.460436490686702]\left(-\infty, 0.460436490686702\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1x2+1−1x−2=0\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+((2−x)log⁡(2−x)+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2)))−2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+((2−x)log⁡(2−x)+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2)))−2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*atan(x) - log(1 + x^2)/2 + (2 - x)*log(2 - x) + x - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+((2−x)log⁡(2−x)+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2)))−2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+((2−x)log⁡(2−x)+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2)))−2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+((2−x)log⁡(2−x)+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2)))−2=xatan⁡(x)−x+(x+2)log⁡(x+2)−log⁡(x2+1)2−2\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2 = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - x + \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - 2
- No
(x+((2−x)log⁡(2−x)+(xatan⁡(x)−log⁡(x2+1)2)))−2=−xatan⁡(x)+x−(x+2)log⁡(x+2)+log⁡(x2+1)2+2\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2 = - x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} + 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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