Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = x*arctg(x)-0.5*ln(1+x^2)+(2-x)*ln(2-x)+x-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                      /     2\                             
                   log\1 + x /                             
f(x) = x*atan(x) - ----------- + (2 - x)*log(2 - x) + x - 2
                        2                                  
$$f{\left(x \right)} = \left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2$$
f = x + (2 - x)*log(2 - x) + x*atan(x) - log(x^2 + 1)/2 - 2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 1.47678695792364$$
$$x_{2} = -0.56281911480323$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*atan(x) - log(1 + x^2)/2 + (2 - x)*log(2 - x) + x - 2.
$$-2 + \left(\left(0 \operatorname{atan}{\left(0 \right)} - \frac{\log{\left(0^{2} + 1 \right)}}{2}\right) + \left(2 - 0\right) \log{\left(2 - 0 \right)}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2 + 2 \log{\left(2 \right)}$$
Punto:
(0, -2 + 2*log(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \log{\left(2 - x \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.460436490686702$$
Signos de extremos en los puntos:
(0.46043649068670245, -0.772702298537309)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0.460436490686702$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0.460436490686702, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.460436490686702\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*atan(x) - log(1 + x^2)/2 + (2 - x)*log(2 - x) + x - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2 = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - x + \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} - 2$$
- No
$$\left(x + \left(\left(2 - x\right) \log{\left(2 - x \right)} + \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}\right)\right)\right) - 2 = - x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2} + 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar