Sr Examen

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Gráfico de la función y = (-1+x*(-1+log(x)))*exp(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                               2*x
f(x) = (-1 + x*(-1 + log(x)))*e   
$$f{\left(x \right)} = \left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{2 x}$$
f = (x*(log(x) - 1) - 1)*exp(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = e^{W\left(e^{-1}\right) + 1}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.59112147666862$$
$$x_{2} = 3.59112147666862$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-1 + x*(-1 + log(x)))*exp(2*x).
$$\left(0 \left(\log{\left(0 \right)} - 1\right) - 1\right) e^{0 \cdot 2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{2 x} + e^{2 x} \log{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3.12080460273495$$
Signos de extremos en los puntos:
(3.120804602734952, -292.309798622625)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3.12080460273495$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[3.12080460273495, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 3.12080460273495\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(4 x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) + 4 \log{\left(x \right)} - 4 + \frac{1}{x}\right) e^{2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2.64887377184533$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2.64887377184533, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2.64887377184533\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{2 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{2 x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + x*(-1 + log(x)))*exp(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{2 x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{2 x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{2 x} = \left(- x \left(\log{\left(- x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{- 2 x}$$
- No
$$\left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{2 x} = - \left(- x \left(\log{\left(- x \right)} - 1\right) - 1\right) e^{- 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar