Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x/2+pi/6)

Gráfico de la función y = cos(x/2+pi/6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x   pi\
f(x) = cos|- + --|
          \2   6 /
f(x)=cos⁡(x2+π6)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} 
f = cos(x/2 + pi/6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x2+π6)=0\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
x2=8π3x_{2} = \frac{8 \pi}{3}
Solución numérica
x1=39.7935069454707x_{1} = 39.7935069454707
x2=−92.1533845053006x_{2} = -92.1533845053006
x3=64.9262481741891x_{3} = 64.9262481741891
x4=3841.12061778912x_{4} = 3841.12061778912
x5=−67.0206432765823x_{5} = -67.0206432765823
x6=6404.66022311839x_{6} = 6404.66022311839
x7=33.5103216382911x_{7} = 33.5103216382911
x8=−35.6047167406843x_{8} = -35.6047167406843
x9=−54.4542726622231x_{9} = -54.4542726622231
x10=71.2094334813686x_{10} = 71.2094334813686
x11=58.6430628670095x_{11} = 58.6430628670095
x12=46.0766922526503x_{12} = 46.0766922526503
x13=−173.834793498635x_{13} = -173.834793498635
x14=96.342174710087x_{14} = 96.342174710087
x15=−450.294947014537x_{15} = -450.294947014537
x16=−10.471975511966x_{16} = -10.471975511966
x17=−48.1710873550435x_{17} = -48.1710873550435
x18=20.943951023932x_{18} = 20.943951023932
x19=−41.8879020478639x_{19} = -41.8879020478639
x20=2.0943951023932x_{20} = 2.0943951023932
x21=−23.0383461263252x_{21} = -23.0383461263252
x22=−85.870199198121x_{22} = -85.870199198121
x23=−60.7374579694027x_{23} = -60.7374579694027
x24=−79.5870138909414x_{24} = -79.5870138909414
x25=−4.18879020478639x_{25} = -4.18879020478639
x26=77.4926187885482x_{26} = 77.4926187885482
x27=90.0589894029074x_{27} = 90.0589894029074
x28=8.37758040957278x_{28} = 8.37758040957278
x29=−29.3215314335047x_{29} = -29.3215314335047
x30=102.625360017267x_{30} = 102.625360017267
x31=−73.3038285837618x_{31} = -73.3038285837618
x32=83.7758040957278x_{32} = 83.7758040957278
x33=14.6607657167524x_{33} = 14.6607657167524
x34=−16.7551608191456x_{34} = -16.7551608191456
x35=−98.4365698124802x_{35} = -98.4365698124802
x36=27.2271363311115x_{36} = 27.2271363311115
x37=52.3598775598299x_{37} = 52.3598775598299
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x/2 + pi/6).
cos⁡(02+π6)\cos{\left(\frac{0}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x2+π6)2=0- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      /pi   pi\ 
(----, cos|-- - --|)
  3       \6    6 / 

 5*pi      /pi   pi\ 
(----, -sin|-- + --|)
  3        \3    6 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π3x_{1} = \frac{5 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π3]∪[5π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π3,5π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(3x+π6)4=0- \frac{\cos{\left(\frac{3 x + \pi}{6} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
x2=8π3x_{2} = \frac{8 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2π3,8π3]\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,2π3]∪[8π3,∞)\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{8 \pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x2+π6)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x2+π6)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/2 + pi/6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x2+π6)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x2+π6)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x2+π6)=cos⁡(x2−π6)\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
cos⁡(x2+π6)=−cos⁡(x2−π6)\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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