Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x^2+2*x+5)

Gráfico de la función y = sqrt(x^2+2*x+5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ______________
         /  2           
f(x) = \/  x  + 2*x + 5
f(x)=(x2+2x)+5f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5} 
f = sqrt(x^2 + 2*x + 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+2x)+5=0\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x^2 + 2*x + 5).
(02+0⋅2)+5\sqrt{\left(0^{2} + 0 \cdot 2\right) + 5}
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = \sqrt{5}
Punto:
(0, sqrt(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x+1(x2+2x)+5=0\frac{x + 1}{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x+1)2x2+2x+5+1x2+2x+5=0\frac{- \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 2 x + 5} + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+2x)+5=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+2x)+5=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2 + 2*x + 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+2x)+5x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((x2+2x)+5x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+2x)+5=x2−2x+5\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5} = \sqrt{x^{2} - 2 x + 5}
- No
(x2+2x)+5=−x2−2x+5\sqrt{\left(x^{2} + 2 x\right) + 5} = - \sqrt{x^{2} - 2 x + 5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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