Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 2*sin(x/2+pi/2)

Gráfico de la función y = 2*sin(x/2+pi/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x   pi\
f(x) = 2*sin|- + --|
            \2   2 /
f(x)=2sin⁡(x2+π2)f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} 
f = 2*sin(x/2 + pi/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x2+π2)=02 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Solución numérica
x1=−97.3893722612836x_{1} = -97.3893722612836
x2=−72.2566310325652x_{2} = -72.2566310325652
x3=−59.6902604182061x_{3} = -59.6902604182061
x4=−160.221225333079x_{4} = -160.221225333079
x5=−78.5398163397448x_{5} = -78.5398163397448
x6=97.3893722612836x_{6} = 97.3893722612836
x7=9.42477796076938x_{7} = 9.42477796076938
x8=−9591.28237140964x_{8} = -9591.28237140964
x9=84.8230016469244x_{9} = 84.8230016469244
x10=−21.9911485751286x_{10} = -21.9911485751286
x11=3.14159265358979x_{11} = 3.14159265358979
x12=28.2743338823081x_{12} = 28.2743338823081
x13=−28.2743338823081x_{13} = -28.2743338823081
x14=7517042.68028432x_{14} = 7517042.68028432
x15=−40.8407044966673x_{15} = -40.8407044966673
x16=−65.9734457253857x_{16} = -65.9734457253857
x17=−91.106186954104x_{17} = -91.106186954104
x18=40.8407044966673x_{18} = 40.8407044966673
x19=−53.4070751110265x_{19} = -53.4070751110265
x20=−3.14159265358979x_{20} = -3.14159265358979
x21=−84.8230016469244x_{21} = -84.8230016469244
x22=21.9911485751286x_{22} = 21.9911485751286
x23=34.5575191894877x_{23} = 34.5575191894877
x24=47.1238898038469x_{24} = 47.1238898038469
x25=−15.707963267949x_{25} = -15.707963267949
x26=53.4070751110265x_{26} = 53.4070751110265
x27=65.9734457253857x_{27} = 65.9734457253857
x28=91.106186954104x_{28} = 91.106186954104
x29=59.6902604182061x_{29} = 59.6902604182061
x30=78.5398163397448x_{30} = 78.5398163397448
x31=15.707963267949x_{31} = 15.707963267949
x32=72.2566310325652x_{32} = 72.2566310325652
x33=−47.1238898038469x_{33} = -47.1238898038469
x34=−9.42477796076938x_{34} = -9.42477796076938
x35=−34.5575191894877x_{35} = -34.5575191894877
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x/2 + pi/2).
2sin⁡(02+π2)2 \sin{\left(\frac{0}{2} + \frac{\pi}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x2+π2)=0\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

(2*pi, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2πx_{1} = 2 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x+π2)2=0- \frac{\sin{\left(\frac{x + \pi}{2} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x2+π2))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x2+π2))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x/2 + pi/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x2+π2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(x2+π2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x2+π2)=−2sin⁡(x2−π2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} = - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right)}
- No
2sin⁡(x2+π2)=2sin⁡(x2−π2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} \right)} = 2 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор