Puntos en los que la función no está definida exactamente: x1=1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: x3−1x4=0 Resolvermos esta ecuación Puntos de cruce con el eje X:
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en x^4/(x^3 - 1). −1+0304 Resultado: f(0)=0 Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada −(x3−1)23x6+x3−14x3=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=0 x2=232 Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
2/3
2/3 4*2
(2 , ------)
3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: Puntos mínimos de la función: x1=232 Puntos máximos de la función: x1=0 Decrece en los intervalos (−∞,0]∪[232,∞) Crece en los intervalos [0,232]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada x3−16x2(x3−1x3(x3−13x3−1)−x3−14x3+2)=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=0 x2=−32 Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función: Puntos donde hay indeterminación: x1=1
x→1−limx3−16x2(x3−1x3(x3−13x3−1)−x3−14x3+2)=−∞ x→1+limx3−16x2(x3−1x3(x3−13x3−1)−x3−14x3+2)=∞ - los límites no son iguales, signo x1=1 - es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad: Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones: Cóncava en los intervalos (−∞,−32] Convexa en los intervalos [−32,∞)
Asíntotas verticales
Hay: x1=1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim(x3−1x4)=−∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota horizontal a la izquierda x→∞lim(x3−1x4)=∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4/(x^3 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(x3−1x3)=1 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda: y=x x→∞lim(x3−1x3)=1 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota inclinada a la derecha: y=x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: x3−1x4=−x3−1x4 - No x3−1x4=−−x3−1x4 - No es decir, función no es par ni impar