Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x+1/x
-
(x+1)/(x-1)
-
-sqrt(x)
-
x*x
- Integral de d{x}:
- x^4/(x^3-1)
- Derivada de:
-
x^4/(x^3-1)
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro /(x^ tres - uno)
- x en el grado 4 dividir por (x al cubo menos 1)
- x en el grado cuatro dividir por (x en el grado tres menos uno)
- x4/(x3-1)
- x4/x3-1
- x⁴/(x³-1)
- x en el grado 4/(x en el grado 3-1)
- x^4/x^3-1
- x^4 dividir por (x^3-1)
-
Expresiones semejantes
- x^4/(x^3+1)
Gráfico de la función y = x^4/(x^3-1)
Solución
Ha introducido
[src]
4
x
f(x) = ------
3
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{x^{3} - 1}$$
f = x^4/(x^3 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{4}}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.60607992677596 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = -1.02232469567516 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -0.000103332775242263$$
$$x_{4} = -1.3338912288759 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = -1.81310785380541 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -0.000107765824814504$$
$$x_{7} = -1.57532442032212 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -0.000299826845030901$$
$$x_{9} = -4.06146544486498 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = 0$$
$$x_{11} = -5.47232478931208 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -0.000654389696484705$$
$$x_{13} = -0.000654344497232379$$
$$x_{14} = -1.54602102954776 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -1.35743106707226 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -0.000161068482534478$$
$$x_{17} = -0.000286292035639011$$
$$x_{18} = -2.15592434927727 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = -3.2995928343424 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = -7.19322664791715 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = -1.18180040282252 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = -1.16261055098824 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = -4.18222968333137 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = -3.21359477151646 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = -2.20383103252304 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = -0.000168797170534604$$
$$x_{27} = -7.46468469963582 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -2.66938828581909 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = -5.29572391754821 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -1.03817109702816 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -1.85020860558564 \cdot 10^{-5}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{4}}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.60607992677596 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = -1.02232469567516 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -0.000103332775242263$$
$$x_{4} = -1.3338912288759 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = -1.81310785380541 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -0.000107765824814504$$
$$x_{7} = -1.57532442032212 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -0.000299826845030901$$
$$x_{9} = -4.06146544486498 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = 0$$
$$x_{11} = -5.47232478931208 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -0.000654389696484705$$
$$x_{13} = -0.000654344497232379$$
$$x_{14} = -1.54602102954776 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -1.35743106707226 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -0.000161068482534478$$
$$x_{17} = -0.000286292035639011$$
$$x_{18} = -2.15592434927727 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = -3.2995928343424 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = -7.19322664791715 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = -1.18180040282252 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = -1.16261055098824 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = -4.18222968333137 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = -3.21359477151646 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = -2.20383103252304 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = -0.000168797170534604$$
$$x_{27} = -7.46468469963582 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -2.66938828581909 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = -5.29572391754821 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -1.03817109702816 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -1.85020860558564 \cdot 10^{-5}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x^{6}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x^{6}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
2/3
2/3 4*2
(2 , ------)
3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)}{x^{3} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x^{2} \left(\frac{x^{3} \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} - 1\right)}{x^{3} - 1} - \frac{4 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{x^{3} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4/(x^3 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{4}}{x^{3} - 1} = \frac{x^{4}}{- x^{3} - 1}$$
- No
$$\frac{x^{4}}{x^{3} - 1} = - \frac{x^{4}}{- x^{3} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{4}}{x^{3} - 1} = \frac{x^{4}}{- x^{3} - 1}$$
- No
$$\frac{x^{4}}{x^{3} - 1} = - \frac{x^{4}}{- x^{3} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico