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Trazado el gráfico de la función/ x*log(2*x+5*x^2)

Gráfico de la función y = x*log(2*x+5*x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /         2\
f(x) = x*log\2*x + 5*x /
f(x)=xlog⁡(5x2+2x)f{\left(x \right)} = x \log{\left(5 x^{2} + 2 x \right)} 
f = x*log(5*x^2 + 2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xlog⁡(5x2+2x)=0x \log{\left(5 x^{2} + 2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.289897948556636x_{1} = 0.289897948556636
x2=−0.689897948556636x_{2} = -0.689897948556636
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*log(2*x + 5*x^2).
0log⁡(0⋅2+5⋅02)0 \log{\left(0 \cdot 2 + 5 \cdot 0^{2} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(10x+2)5x2+2x+log⁡(5x2+2x)=0\frac{x \left(10 x + 2\right)}{5 x^{2} + 2 x} + \log{\left(5 x^{2} + 2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(5−2(5x+1)2x(5x+2)+2(5x+1)x)5x+2=0\frac{2 \left(5 - \frac{2 \left(5 x + 1\right)^{2}}{x \left(5 x + 2\right)} + \frac{2 \left(5 x + 1\right)}{x}\right)}{5 x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−25−25x_{1} = - \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{2}}{5}
x2=−25+25x_{2} = - \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{2}}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−25−25,∞)\left[- \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{2}}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−25−25]\left(-\infty, - \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{2}}{5}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(5x2+2x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(5 x^{2} + 2 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(5x2+2x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(5 x^{2} + 2 x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*log(2*x + 5*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(5x2+2x)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(5 x^{2} + 2 x \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(5x2+2x)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(5 x^{2} + 2 x \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xlog⁡(5x2+2x)=−xlog⁡(5x2−2x)x \log{\left(5 x^{2} + 2 x \right)} = - x \log{\left(5 x^{2} - 2 x \right)}
- No
xlog⁡(5x2+2x)=xlog⁡(5x2−2x)x \log{\left(5 x^{2} + 2 x \right)} = x \log{\left(5 x^{2} - 2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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