Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -3*cos(3*x)/50-2*sin(3*x)/25

Gráfico de la función y = -3*cos(3*x)/50-2*sin(3*x)/25

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       -3*cos(3*x)   2*sin(3*x)
f(x) = ----------- - ----------
            50           25
f(x)=−2sin⁡(3x)25+(−1)3cos⁡(3x)50f{\left(x \right)} = - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{25} + \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(3 x \right)}}{50} 
f = -2*sin(3*x)/25 + (-3*cos(3*x))/50
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.2-0.2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2sin⁡(3x)25+(−1)3cos⁡(3x)50=0- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{25} + \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(3 x \right)}}{50} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(34)3x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{3}
Solución numérica
x1=−77.707119158146x_{1} = -77.707119158146
x2=86.7028963797198x_{2} = 86.7028963797198
x3=80.4197110725403x_{3} = 80.4197110725403
x4=25.9654384103172x_{4} = 25.9654384103172
x5=89.8444890333096x_{5} = 89.8444890333096
x6=50.0509820878389x_{6} = 50.0509820878389
x7=−88.179094670112x_{7} = -88.179094670112
x8=−68.2823411973766x_{8} = -68.2823411973766
x9=185.1394661922x_{9} = 185.1394661922
x10=12.3518702447614x_{10} = 12.3518702447614
x11=1.87989473279543x_{11} = 1.87989473279543
x12=54.2397722926253x_{12} = 54.2397722926253
x13=45.8621918830525x_{13} = 45.8621918830525
x14=47.9565869854457x_{14} = 47.9565869854457
x15=−74.5655265045562x_{15} = -74.5655265045562
x16=−91.3206873237018x_{16} = -91.3206873237018
x17=78.3253159701471x_{17} = 78.3253159701471
x18=82.5141061749335x_{18} = 82.5141061749335
x19=21.7766482055308x_{19} = 21.7766482055308
x20=91.9388841357028x_{20} = 91.9388841357028
x21=94.033279238096x_{21} = 94.033279238096
x22=52.1453771902321x_{22} = 52.1453771902321
x23=60.5229575998049x_{23} = 60.5229575998049
x24=61.5701551510015x_{24} = 61.5701551510015
x25=28.0598335127104x_{25} = 28.0598335127104
x26=−86.0846995677188x_{26} = -86.0846995677188
x27=98.2220694428824x_{27} = 98.2220694428824
x28=−90.2734897725052x_{28} = -90.2734897725052
x29=−51.5271803782311x_{29} = -51.5271803782311
x30=−44.1967975198549x_{30} = -44.1967975198549
x31=3.97428983518863x_{31} = 3.97428983518863
x32=6.06868493758182x_{32} = 6.06868493758182
x33=−95.5094775284882x_{33} = -95.5094775284882
x34=32.2486237174968x_{34} = 32.2486237174968
x35=−2.30889547199096x_{35} = -2.30889547199096
x36=58.4285624974117x_{36} = 58.4285624974117
x37=−0.214500369597761x_{37} = -0.214500369597761
x38=−81.8959093629324x_{38} = -81.8959093629324
x39=−22.2056489447263x_{39} = -22.2056489447263
x40=−57.8103656854106x_{40} = -57.8103656854106
x41=56.3341673950185x_{41} = 56.3341673950185
x42=−75.6127240557528x_{42} = -75.6127240557528
x43=3515.22767899738x_{43} = 3515.22767899738
x44=−15.9224636375467x_{44} = -15.9224636375467
x45=−61.999155890197x_{45} = -61.999155890197
x46=67.8533404581811x_{46} = 67.8533404581811
x47=−9.63927833036714x_{47} = -9.63927833036714
x48=−27.4416367007093x_{48} = -27.4416367007093
x49=−59.9047607878038x_{49} = -59.9047607878038
x50=−42.1024024174617x_{50} = -42.1024024174617
x51=−99.6982677332745x_{51} = -99.6982677332745
x52=38.5318090246764x_{52} = 38.5318090246764
x53=34.34301881989x_{53} = 34.34301881989
x54=96.1276743404892x_{54} = 96.1276743404892
x55=−66.1879460949834x_{55} = -66.1879460949834
x56=−24.3000440471195x_{56} = -24.3000440471195
x57=−70.3767362997698x_{57} = -70.3767362997698
x58=43.7677967806593x_{58} = 43.7677967806593
x59=14.4462653471546x_{59} = 14.4462653471546
x60=−18.0168587399399x_{60} = -18.0168587399399
x61=69.9477355605743x_{61} = 69.9477355605743
x62=−31.6304269054957x_{62} = -31.6304269054957
x63=−20.1112538423331x_{63} = -20.1112538423331
x64=−97.6038726308814x_{64} = -97.6038726308814
x65=30.1542286151036x_{65} = 30.1542286151036
x66=87.7500939309164x_{66} = 87.7500939309164
x67=−40.0080073150685x_{67} = -40.0080073150685
x68=−94.4622799772916x_{68} = -94.4622799772916
x69=−92.3678848748984x_{69} = -92.3678848748984
x70=−35.8192171102821x_{70} = -35.8192171102821
x71=−83.9903044653256x_{71} = -83.9903044653256
x72=72.0421306629675x_{72} = 72.0421306629675
x73=−55.7159705830174x_{73} = -55.7159705830174
x74=−46.2911926222481x_{74} = -46.2911926222481
x75=−37.9136122126753x_{75} = -37.9136122126753
x76=−73.5183289533596x_{76} = -73.5183289533596
x77=23.871043307924x_{77} = 23.871043307924
x78=76.2309208677539x_{78} = 76.2309208677539
x79=−29.5360318031025x_{79} = -29.5360318031025
x80=−11.7336734327603x_{80} = -11.7336734327603
x81=−13.8280685351535x_{81} = -13.8280685351535
x82=−47.3383901734447x_{82} = -47.3383901734447
x83=−33.7248220078889x_{83} = -33.7248220078889
x84=−64.0935509925902x_{84} = -64.0935509925902
x85=8.16308003997502x_{85} = 8.16308003997502
x86=−79.8015142605392x_{86} = -79.8015142605392
x87=64.7117478045913x_{87} = 64.7117478045913
x88=−7.54488322797395x_{88} = -7.54488322797395
x89=65.7589453557879x_{89} = 65.7589453557879
x90=40.6262041270695x_{90} = 40.6262041270695
x91=74.1365257653607x_{91} = 74.1365257653607
x92=44.8149943318559x_{92} = 44.8149943318559
x93=16.5406604495478x_{93} = 16.5406604495478
x94=100.316464545276x_{94} = 100.316464545276
x95=−5.45048812558075x_{95} = -5.45048812558075
x96=17.5878580007444x_{96} = 17.5878580007444
x97=36.4374139222832x_{97} = 36.4374139222832
x98=10.2574751423682x_{98} = 10.2574751423682
x99=−53.6215754806242x_{99} = -53.6215754806242
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-3*cos(3*x))/50 - 2*sin(3*x)/25.
(−1)3cos⁡(0⋅3)50−2sin⁡(0⋅3)25\frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}}{50} - \frac{2 \sin{\left(0 \cdot 3 \right)}}{25}
Resultado:
f(0)=−350f{\left(0 \right)} = - \frac{3}{50}
Punto:
(0, -3/50)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
9sin⁡(3x)50−6cos⁡(3x)25=0\frac{9 \sin{\left(3 x \right)}}{50} - \frac{6 \cos{\left(3 x \right)}}{25} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(43)3x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 atan(4/3)        
(---------, -1/10)
     3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=atan⁡(43)3x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[atan⁡(43)3,∞)\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,atan⁡(43)3]\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9(4sin⁡(3x)+3cos⁡(3x))50=0\frac{9 \left(4 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right)}{50} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(34)3x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−atan⁡(34)3,∞)\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−atan⁡(34)3]\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2sin⁡(3x)25+(−1)3cos⁡(3x)50)=⟨−750,750⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{25} + \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(3 x \right)}}{50}\right) = \left\langle - \frac{7}{50}, \frac{7}{50}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−750,750⟩y = \left\langle - \frac{7}{50}, \frac{7}{50}\right\rangle
lim⁡x→∞(−2sin⁡(3x)25+(−1)3cos⁡(3x)50)=⟨−750,750⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{25} + \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(3 x \right)}}{50}\right) = \left\langle - \frac{7}{50}, \frac{7}{50}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−750,750⟩y = \left\langle - \frac{7}{50}, \frac{7}{50}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-3*cos(3*x))/50 - 2*sin(3*x)/25, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2sin⁡(3x)25+(−1)3cos⁡(3x)50x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{25} + \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(3 x \right)}}{50}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2sin⁡(3x)25+(−1)3cos⁡(3x)50x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{25} + \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(3 x \right)}}{50}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2sin⁡(3x)25+(−1)3cos⁡(3x)50=2sin⁡(3x)25+(−1)3cos⁡(3x)50- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{25} + \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(3 x \right)}}{50} = \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{25} + \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(3 x \right)}}{50}
- No
−2sin⁡(3x)25+(−1)3cos⁡(3x)50=−2sin⁡(3x)25−(−1)3cos⁡(3x)50- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{25} + \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(3 x \right)}}{50} = - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{25} - \frac{\left(-1\right) 3 \cos{\left(3 x \right)}}{50}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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