Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(3x)*(9x^2-6)

Gráfico de la función y = exp(3x)*(9x^2-6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3*x /   2    \
f(x) = e   *\9*x  - 6/
f(x)=(9x2−6)e3xf{\left(x \right)} = \left(9 x^{2} - 6\right) e^{3 x} 
f = (9*x^2 - 6)*exp(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000000000000000010000000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(9x2−6)e3x=0\left(9 x^{2} - 6\right) e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−63x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
x2=63x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Solución numérica
x1=−80.9285718844946x_{1} = -80.9285718844946
x2=−98.9169634472902x_{2} = -98.9169634472902
x3=−54.9599714612626x_{3} = -54.9599714612626
x4=−102.914960261393x_{4} = -102.914960261393
x5=−62.9473325059996x_{5} = -62.9473325059996
x6=−50.9679258928336x_{6} = -50.9679258928336
x7=−40.9954700250844x_{7} = -40.9954700250844
x8=−0.816496580927726x_{8} = -0.816496580927726
x9=−15.3217106782129x_{9} = -15.3217106782129
x10=−106.913113486814x_{10} = -106.913113486814
x11=−72.9356912729677x_{11} = -72.9356912729677
x12=−17.2461690329372x_{12} = -17.2461690329372
x13=−13.4369047011233x_{13} = -13.4369047011233
x14=−66.9422283571072x_{14} = -66.9422283571072
x15=−37.0112595733043x_{15} = -37.0112595733043
x16=−68.9399140192759x_{16} = -68.9399140192759
x17=−31.0439568243175x_{17} = -31.0439568243175
x18=−48.9724409562448x_{18} = -48.9724409562448
x19=−58.9531872424196x_{19} = -58.9531872424196
x20=−60.9501560614126x_{20} = -60.9501560614126
x21=−86.9241391858771x_{21} = -86.9241391858771
x22=−78.9302082521321x_{22} = -78.9302082521321
x23=−39.002904504582x_{23} = -39.002904504582
x24=−84.9255432765689x_{24} = -84.9255432765689
x25=−33.0315148424422x_{25} = -33.0315148424422
x26=−44.9828136964663x_{26} = -44.9828136964663
x27=−27.0755612809912x_{27} = -27.0755612809912
x28=−11.6390063353452x_{28} = -11.6390063353452
x29=−52.9637842382499x_{29} = -52.9637842382499
x30=−94.9191438005608x_{30} = -94.9191438005608
x31=−29.0584530466773x_{31} = -29.0584530466773
x32=−42.9888116553855x_{32} = -42.9888116553855
x33=−46.9773823923377x_{33} = -46.9773823923377
x34=−82.9270189685161x_{34} = -82.9270189685161
x35=−70.9377390683091x_{35} = -70.9377390683091
x36=−64.9446959349238x_{36} = -64.9446959349238
x37=−100.915941086414x_{37} = -100.915941086414
x38=−35.0207180637527x_{38} = -35.0207180637527
x39=−96.9180300403546x_{39} = -96.9180300403546
x40=−19.1925173586317x_{40} = -19.1925173586317
x41=0.816496580927726x_{41} = 0.816496580927726
x42=−76.9319349875298x_{42} = -76.9319349875298
x43=−74.9337597931602x_{43} = -74.9337597931602
x44=−92.9203079284836x_{44} = -92.9203079284836
x45=−23.1210889005298x_{45} = -23.1210889005298
x46=−104.914018490736x_{46} = -104.914018490736
x47=−25.096062952845x_{47} = -25.096062952845
x48=−88.9228016067978x_{48} = -88.9228016067978
x49=−21.1523419124891x_{49} = -21.1523419124891
x50=−56.9564498476057x_{50} = -56.9564498476057
x51=−90.9215259210752x_{51} = -90.9215259210752
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(3*x)*(9*x^2 - 6).
(−6+9⋅02)e0⋅3\left(-6 + 9 \cdot 0^{2}\right) e^{0 \cdot 3}
Resultado:
f(0)=−6f{\left(0 \right)} = -6
Punto:
(0, -6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
18xe3x+3(9x2−6)e3x=018 x e^{3 x} + 3 \left(9 x^{2} - 6\right) e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13+73x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}
x2=−73−13x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
              /                    2\             
         ___  |       /        ___\ |         ___ 
   1   \/ 7   |       |  1   \/ 7 | |  -1 + \/ 7  
(- - + -----, |-6 + 9*|- - + -----| |*e          )
   3     3    \       \  3     3  / /             

              /                    2\             
         ___  |       /        ___\ |         ___ 
   1   \/ 7   |       |  1   \/ 7 | |  -1 - \/ 7  
(- - - -----, |-6 + 9*|- - - -----| |*e          )
   3     3    \       \  3     3  / /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−13+73x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−73−13x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−73−13]∪[−13+73,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}\right] \cup \left[- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−73−13,−13+73]\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9(9x2+12x−4)e3x=09 \left(9 x^{2} + 12 x - 4\right) e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23+223x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3}
x2=−223−23x_{2} = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−223−23]∪[−23+223,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−223−23,−23+223]\left[- \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((9x2−6)e3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(9 x^{2} - 6\right) e^{3 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((9x2−6)e3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(9 x^{2} - 6\right) e^{3 x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(3*x)*(9*x^2 - 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((9x2−6)e3xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(9 x^{2} - 6\right) e^{3 x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((9x2−6)e3xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(9 x^{2} - 6\right) e^{3 x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(9x2−6)e3x=(9x2−6)e−3x\left(9 x^{2} - 6\right) e^{3 x} = \left(9 x^{2} - 6\right) e^{- 3 x}
- No
(9x2−6)e3x=−(9x2−6)e−3x\left(9 x^{2} - 6\right) e^{3 x} = - \left(9 x^{2} - 6\right) e^{- 3 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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