Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{x^{2} \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{3}{2}\right)^{2}} + \frac{2 x}{\cos{\left(x \right)} - \frac{3}{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 50.2853781381351$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -31.4477629049505$$
$$x_{4} = -94.2583901363381$$
$$x_{5} = 15.384078313763$$
$$x_{6} = -78.4761112993522$$
$$x_{7} = -87.9759627556292$$
$$x_{8} = 21.7617891665261$$
$$x_{9} = 28.0965631409557$$
$$x_{10} = -34.4123243298913$$
$$x_{11} = -50.2853781381351$$
$$x_{12} = -28.0965631409557$$
$$x_{13} = 44.0050355305737$$
$$x_{14} = -44.0050355305737$$
$$x_{15} = 34.4123243298913$$
$$x_{16} = -53.3133173740256$$
$$x_{17} = 8.86655987587145$$
$$x_{18} = 65.8975849587002$$
$$x_{19} = 53.3133173740256$$
$$x_{20} = 97.3380093822034$$
$$x_{21} = -15.384078313763$$
$$x_{22} = -59.6063964574436$$
$$x_{23} = -40.7179701727823$$
$$x_{24} = 47.0175866364576$$
$$x_{25} = -81.6936519871376$$
$$x_{26} = -72.187377914753$$
$$x_{27} = 40.7179701727823$$
$$x_{28} = 91.0512783605725$$
$$x_{29} = 100.540912262872$$
$$x_{30} = -84.7640211937152$$
$$x_{31} = -37.7256407796871$$
$$x_{32} = 94.2583901363381$$
$$x_{33} = -91.0512783605725$$
$$x_{34} = 72.187377914753$$
$$x_{35} = 81.6936519871376$$
$$x_{36} = 6.44302868842502$$
$$x_{37} = -21.7617891665261$$
$$x_{38} = -8.86655987587145$$
$$x_{39} = -47.0175866364576$$
$$x_{40} = -97.3380093822034$$
$$x_{41} = 87.9759627556292$$
$$x_{42} = -65.8975849587002$$
$$x_{43} = 84.7640211937152$$
$$x_{44} = 37.7256407796871$$
$$x_{45} = 78.4761112993522$$
$$x_{46} = 59.6063964574436$$
Signos de extremos en los puntos:
(50.28537813813507, -5055.2375193299)
(0, 0)
(-31.447762904950526, -1975.92104913788)
(-94.2583901363381, -17767.2879407247)
(15.384078313762958, -96.6786225405606)
(-78.47611129935217, -2465.4004239752)
(-87.97596275562918, -15477.5397224483)
(21.761789166526114, -191.435494133993)
(28.096563140955716, -317.769921097195)
(-34.41232432989134, -475.685341898355)
(-50.28537813813507, -5055.2375193299)
(-28.096563140955716, -317.769921097195)
(44.00503553057369, -3870.88501139786)
(-44.00503553057369, -3870.88501139786)
(34.41232432989134, -475.685341898355)
(-53.31331737402556, -1138.92480411025)
(8.866559875871447, -33.4792071313582)
(65.89758495870016, -1738.99725739366)
(53.31331737402556, -1138.92480411025)
(97.33800938220337, -3791.87549212654)
(-15.384078313762958, -96.6786225405606)
(-59.606396457443566, -1423.16970359841)
(-40.71797017278228, -665.182748158072)
(47.017586636457565, -886.262513414773)
(-81.69365198713761, -13345.7051752545)
(-72.18737791475296, -2086.407492066)
(40.71797017278228, -665.182748158072)
(91.05127836057247, -3318.13441808471)
(100.54091226287183, -20214.9498299226)
(-84.76402119371517, -2875.97606364261)
(-37.72564077968713, -2844.44618480839)
(94.2583901363381, -17767.2879407247)
(-91.05127836057247, -3318.13441808471)
(72.18737791475296, -2086.407492066)
(81.69365198713761, -13345.7051752545)
(6.443028688425024, -80.9610896065579)
(-21.761789166526114, -191.435494133993)
(-8.866559875871447, -33.4792071313582)
(-47.017586636457565, -886.262513414773)
(-97.33800938220337, -3791.87549212654)
(87.97596275562918, -15477.5397224483)
(-65.89758495870016, -1738.99725739366)
(84.76402119371517, -2875.97606364261)
(37.72564077968713, -2844.44618480839)
(78.47611129935217, -2465.4004239752)
(59.606396457443566, -1423.16970359841)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 50.2853781381351$$
$$x_{2} = -31.4477629049505$$
$$x_{3} = -94.2583901363381$$
$$x_{4} = -87.9759627556292$$
$$x_{5} = -50.2853781381351$$
$$x_{6} = 44.0050355305737$$
$$x_{7} = -44.0050355305737$$
$$x_{8} = -81.6936519871376$$
$$x_{9} = 100.540912262872$$
$$x_{10} = -37.7256407796871$$
$$x_{11} = 94.2583901363381$$
$$x_{12} = 81.6936519871376$$
$$x_{13} = 6.44302868842502$$
$$x_{14} = 87.9759627556292$$
$$x_{15} = 37.7256407796871$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{15} = 0$$
$$x_{15} = 15.384078313763$$
$$x_{15} = -78.4761112993522$$
$$x_{15} = 21.7617891665261$$
$$x_{15} = 28.0965631409557$$
$$x_{15} = -34.4123243298913$$
$$x_{15} = -28.0965631409557$$
$$x_{15} = 34.4123243298913$$
$$x_{15} = -53.3133173740256$$
$$x_{15} = 8.86655987587145$$
$$x_{15} = 65.8975849587002$$
$$x_{15} = 53.3133173740256$$
$$x_{15} = 97.3380093822034$$
$$x_{15} = -15.384078313763$$
$$x_{15} = -59.6063964574436$$
$$x_{15} = -40.7179701727823$$
$$x_{15} = 47.0175866364576$$
$$x_{15} = -72.187377914753$$
$$x_{15} = 40.7179701727823$$
$$x_{15} = 91.0512783605725$$
$$x_{15} = -84.7640211937152$$
$$x_{15} = -91.0512783605725$$
$$x_{15} = 72.187377914753$$
$$x_{15} = -21.7617891665261$$
$$x_{15} = -8.86655987587145$$
$$x_{15} = -47.0175866364576$$
$$x_{15} = -97.3380093822034$$
$$x_{15} = -65.8975849587002$$
$$x_{15} = 84.7640211937152$$
$$x_{15} = 78.4761112993522$$
$$x_{15} = 59.6063964574436$$
Decrece en los intervalos
$$\left[100.540912262872, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -94.2583901363381\right]$$