Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln(x)^2/sqrt(2x+1)

Gráfico de la función y = ln(x)^2/sqrt(2x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2     
         log (x)  
f(x) = -----------
         _________
       \/ 2*x + 1
f(x)=log⁡(x)22x+1f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\sqrt{2 x + 1}} 
f = log(x)^2/sqrt(2*x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)22x+1=0\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\sqrt{2 x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1.00000013854068x_{1} = 1.00000013854068
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)^2/sqrt(2*x + 1).
log⁡(0)20⋅2+1\frac{\log{\left(0 \right)}^{2}}{\sqrt{0 \cdot 2 + 1}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x)2(2x+1)32+2log⁡(x)x2x+1=0- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x \sqrt{2 x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=eW(2e4)+4x_{2} = e^{W\left(\frac{2}{e^{4}}\right) + 4}
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)

                                   2      
       /   -4\       /     /   -4\\       
  4 + W\2*e  /       \4 + W\2*e  //       
(e           , -------------------------)
                    _____________________ 
                   /             /   -4\  
                  /         4 + W\2*e  /  
                \/   1 + 2*e


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3log⁡(x)2(2x+1)2−4log⁡(x)x(2x+1)−2(log⁡(x)−1)x22x+1=0\frac{\frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x \left(2 x + 1\right)} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{\sqrt{2 x + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.83645289912907x_{1} = 1.83645289912907
x2=122.334164887755x_{2} = 122.334164887755
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−0.5x_{1} = -0.5

lim⁡x→−0.5−(3log⁡(x)2(2x+1)2−4log⁡(x)x(2x+1)−2(log⁡(x)−1)x22x+1)=∞sign⁡(−4.158883083359672π−1.44135904175462i+32iπ2)\lim_{x \to -0.5^-}\left(\frac{\frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x \left(2 x + 1\right)} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{\sqrt{2 x + 1}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(- 4.15888308335967 \sqrt{2} \pi - 1.4413590417546 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} i \pi^{2} \right)}
lim⁡x→−0.5+(3log⁡(x)2(2x+1)2−4log⁡(x)x(2x+1)−2(log⁡(x)−1)x22x+1)=−∞sign⁡(−1.44135904175462+32π2+4.158883083359672iπ)\lim_{x \to -0.5^+}\left(\frac{\frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{\left(2 x + 1\right)^{2}} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x \left(2 x + 1\right)} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{x^{2}}}{\sqrt{2 x + 1}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(- 1.4413590417546 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \pi^{2} + 4.15888308335967 \sqrt{2} i \pi \right)}
- los límites no son iguales, signo
x1=−0.5x_{1} = -0.5
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1.83645289912907]\left(-\infty, 1.83645289912907\right]
Convexa en los intervalos
[122.334164887755,∞)\left[122.334164887755, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)22x+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\sqrt{2 x + 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)22x+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\sqrt{2 x + 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)^2/sqrt(2*x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)2x2x+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x \sqrt{2 x + 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)2x2x+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x \sqrt{2 x + 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)22x+1=log⁡(−x)21−2x\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\sqrt{2 x + 1}} = \frac{\log{\left(- x \right)}^{2}}{\sqrt{1 - 2 x}}
- No
log⁡(x)22x+1=−log⁡(−x)21−2x\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{\sqrt{2 x + 1}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}^{2}}{\sqrt{1 - 2 x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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