Sr Examen

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Gráfico de la función y = (5^tan(2*x)+3)^4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                      4
       / tan(2*x)    \ 
f(x) = \5         + 3/ 
f(x)=(5tan(2x)+3)4f{\left(x \right)} = \left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right)^{4}
f = (5^tan(2*x) + 3)^4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001e249
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(5tan(2x)+3)4=0\left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right)^{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (5^tan(2*x) + 3)^4.
(5tan(02)+3)4\left(5^{\tan{\left(0 \cdot 2 \right)}} + 3\right)^{4}
Resultado:
f(0)=256f{\left(0 \right)} = 256
Punto:
(0, 256)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
45tan(2x)(5tan(2x)+3)3(2tan2(2x)+2)log(5)=04 \cdot 5^{\tan{\left(2 x \right)}} \left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right)^{3} \left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right) \log{\left(5 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
165tan(2x)(5tan(2x)+3)2(tan2(2x)+1)(35tan(2x)(tan2(2x)+1)log(5)+(5tan(2x)+3)(tan2(2x)+1)log(5)+2(5tan(2x)+3)tan(2x))log(5)=016 \cdot 5^{\tan{\left(2 x \right)}} \left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \left(3 \cdot 5^{\tan{\left(2 x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \log{\left(5 \right)} + \left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right) \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \log{\left(5 \right)} + 2 \left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right) \tan{\left(2 x \right)}\right) \log{\left(5 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=55.7698503692373x_{1} = 55.7698503692373
x2=47.9226824131877x_{2} = 47.9226824131877
x3=27.4980974117195x_{3} = 27.4980974117195
x4=11.7647555199633x_{4} = -11.7647555199633
x5=68.315039319453x_{5} = -68.315039319453
x6=69.8841637450661x_{6} = -69.8841637450661
x7=8.65238960351557x_{7} = 8.65238960351557
x8=0.785372803337923x_{8} = -0.785372803337923
x9=33.7585238158262x_{9} = -33.7585238158262
x10=77.75x_{10} = -77.75
x11=74.6110138554074x_{11} = -74.6110138554074
x12=85.6237877469422x_{12} = 85.6237877469422
x13=8.65269880789079x_{13} = 8.65269880789079
x14=21.1990242167451x_{14} = -21.1990242167451
x15=55.75x_{15} = -55.75

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=limx(5tan(2x)+3)4y = \lim_{x \to -\infty} \left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right)^{4}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=limx(5tan(2x)+3)4y = \lim_{x \to \infty} \left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right)^{4}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (5^tan(2*x) + 3)^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlimx((5tan(2x)+3)4x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right)^{4}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlimx((5tan(2x)+3)4x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right)^{4}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(5tan(2x)+3)4=(3+5tan(2x))4\left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right)^{4} = \left(3 + 5^{- \tan{\left(2 x \right)}}\right)^{4}
- No
(5tan(2x)+3)4=(3+5tan(2x))4\left(5^{\tan{\left(2 x \right)}} + 3\right)^{4} = - \left(3 + 5^{- \tan{\left(2 x \right)}}\right)^{4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar