Sr Examen

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sin(cos(x))
Trazado el gráfico de la función/ sin(cos(x))

Gráfico de la función y = sin(cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(cos(x))
f(x)=sin⁡(cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} 
f = sin(cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(cos⁡(x))=0\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=4.71238898038469x_{1} = 4.71238898038469
x2=17.2787595947439x_{2} = 17.2787595947439
x3=−89.5353906273091x_{3} = -89.5353906273091
x4=64.4026493985908x_{4} = 64.4026493985908
x5=70.6858347057703x_{5} = 70.6858347057703
x6=36.1283155162826x_{6} = 36.1283155162826
x7=−98.9601685880785x_{7} = -98.9601685880785
x8=48.6946861306418x_{8} = 48.6946861306418
x9=−58.1194640914112x_{9} = -58.1194640914112
x10=7.85398163397448x_{10} = 7.85398163397448
x11=39.2699081698724x_{11} = 39.2699081698724
x12=−95.8185759344887x_{12} = -95.8185759344887
x13=−1.5707963267949x_{13} = -1.5707963267949
x14=−92.6769832808989x_{14} = -92.6769832808989
x15=−23.5619449019235x_{15} = -23.5619449019235
x16=23.5619449019235x_{16} = 23.5619449019235
x17=−158.650429006285x_{17} = -158.650429006285
x18=61.261056745001x_{18} = 61.261056745001
x19=29.845130209103x_{19} = 29.845130209103
x20=−32.9867228626928x_{20} = -32.9867228626928
x21=−51.8362787842316x_{21} = -51.8362787842316
x22=−80.1106126665397x_{22} = -80.1106126665397
x23=−83.2522053201295x_{23} = -83.2522053201295
x24=67.5442420521806x_{24} = 67.5442420521806
x25=98.9601685880785x_{25} = 98.9601685880785
x26=92.6769832808989x_{26} = 92.6769832808989
x27=−39.2699081698724x_{27} = -39.2699081698724
x28=86.3937979737193x_{28} = 86.3937979737193
x29=45.553093477052x_{29} = 45.553093477052
x30=−67.5442420521806x_{30} = -67.5442420521806
x31=51.8362787842316x_{31} = 51.8362787842316
x32=76.9690200129499x_{32} = 76.9690200129499
x33=−26.7035375555132x_{33} = -26.7035375555132
x34=−4.71238898038469x_{34} = -4.71238898038469
x35=95.8185759344887x_{35} = 95.8185759344887
x36=−86.3937979737193x_{36} = -86.3937979737193
x37=−10.9955742875643x_{37} = -10.9955742875643
x38=83.2522053201295x_{38} = 83.2522053201295
x39=−7.85398163397448x_{39} = -7.85398163397448
x40=−36.1283155162826x_{40} = -36.1283155162826
x41=−17.2787595947439x_{41} = -17.2787595947439
x42=−14.1371669411541x_{42} = -14.1371669411541
x43=20.4203522483337x_{43} = 20.4203522483337
x44=54.9778714378214x_{44} = 54.9778714378214
x45=−70.6858347057703x_{45} = -70.6858347057703
x46=−48.6946861306418x_{46} = -48.6946861306418
x47=−54.9778714378214x_{47} = -54.9778714378214
x48=−45.553093477052x_{48} = -45.553093477052
x49=14.1371669411541x_{49} = 14.1371669411541
x50=−73.8274273593601x_{50} = -73.8274273593601
x51=26.7035375555132x_{51} = 26.7035375555132
x52=89.5353906273091x_{52} = 89.5353906273091
x53=10.9955742875643x_{53} = 10.9955742875643
x54=80.1106126665397x_{54} = 80.1106126665397
x55=73.8274273593601x_{55} = 73.8274273593601
x56=58.1194640914112x_{56} = 58.1194640914112
x57=−61.261056745001x_{57} = -61.261056745001
x58=1.5707963267949x_{58} = 1.5707963267949
x59=−20.4203522483337x_{59} = -20.4203522483337
x60=−42.4115008234622x_{60} = -42.4115008234622
x61=32.9867228626928x_{61} = 32.9867228626928
x62=42.4115008234622x_{62} = 42.4115008234622
x63=−76.9690200129499x_{63} = -76.9690200129499
x64=−64.4026493985908x_{64} = -64.4026493985908
x65=−29.845130209103x_{65} = -29.845130209103
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(cos(x)).
sin⁡(cos⁡(0))\sin{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=sin⁡(1)f{\left(0 \right)} = \sin{\left(1 \right)}
Punto:
(0, sin(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)cos⁡(cos⁡(x))=0- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, sin(1))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(cos⁡(x))=⟨−sin⁡(1),sin⁡(1)⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \left\langle - \sin{\left(1 \right)}, \sin{\left(1 \right)}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−sin⁡(1),sin⁡(1)⟩y = \left\langle - \sin{\left(1 \right)}, \sin{\left(1 \right)}\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(cos⁡(x))=⟨−sin⁡(1),sin⁡(1)⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \left\langle - \sin{\left(1 \right)}, \sin{\left(1 \right)}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−sin⁡(1),sin⁡(1)⟩y = \left\langle - \sin{\left(1 \right)}, \sin{\left(1 \right)}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(cos⁡(x))=sin⁡(cos⁡(x))\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}
- Sí
sin⁡(cos⁡(x))=−sin⁡(cos⁡(x))\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = - \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(cos(x))
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