Sr Examen

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sin(x)/2+cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x)/2+cos(x)

Gráfico de la función y = sin(x)/2+cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(x)         
f(x) = ------ + cos(x)
         2
f(x)=sin⁡(x)2+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} 
f = sin(x)/2 + cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)2+cos⁡(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(2)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Solución numérica
x1=99.4238161970793x_{1} = 99.4238161970793
x2=−29.3814826001022x_{2} = -29.3814826001022
x3=77.4326676219507x_{3} = 77.4326676219507
x4=80.5742602755405x_{4} = 80.5742602755405
x5=−7.39033402497368x_{5} = -7.39033402497368
x6=2.0344439357957x_{6} = 2.0344439357957
x7=−4.24874137138388x_{7} = -4.24874137138388
x8=−51.3726311752308x_{8} = -51.3726311752308
x9=20.8839998573345x_{9} = 20.8839998573345
x10=24.0255925109243x_{10} = 24.0255925109243
x11=52.2999263932324x_{11} = 52.2999263932324
x12=55.4415190468222x_{12} = 55.4415190468222
x13=30.3087778181038x_{13} = 30.3087778181038
x14=−35.6646679072818x_{14} = -35.6646679072818
x15=8.31762924297529x_{15} = 8.31762924297529
x16=−70.2221870967695x_{16} = -70.2221870967695
x17=−10.5319266785635x_{17} = -10.5319266785635
x18=96.2822235434895x_{18} = 96.2822235434895
x19=74.2910749683609x_{19} = 74.2910749683609
x20=−23.0982972929226x_{20} = -23.0982972929226
x21=−79.6469650575389x_{21} = -79.6469650575389
x22=−63.93900178959x_{22} = -63.93900178959
x23=−73.3637797503593x_{23} = -73.3637797503593
x24=−82.7885577111287x_{24} = -82.7885577111287
x25=11.4592218965651x_{25} = 11.4592218965651
x26=−48.231038521641x_{26} = -48.231038521641
x27=−26.2398899465124x_{27} = -26.2398899465124
x28=−67.0805944431797x_{28} = -67.0805944431797
x29=−54.5142238288206x_{29} = -54.5142238288206
x30=−57.6558164824104x_{30} = -57.6558164824104
x31=42.875148432463x_{31} = 42.875148432463
x32=14.6008145501549x_{32} = 14.6008145501549
x33=−60.7974091360002x_{33} = -60.7974091360002
x34=−1.10714871779409x_{34} = -1.10714871779409
x35=17.7424072037447x_{35} = 17.7424072037447
x36=86.8574455827201x_{36} = 86.8574455827201
x37=71.1494823147711x_{37} = 71.1494823147711
x38=−45.0894458680512x_{38} = -45.0894458680512
x39=5.1760365893855x_{39} = 5.1760365893855
x40=89.9990382363099x_{40} = 89.9990382363099
x41=−85.9301503647185x_{41} = -85.9301503647185
x42=−89.0717430183083x_{42} = -89.0717430183083
x43=83.7158529291303x_{43} = 83.7158529291303
x44=−98.4965209790777x_{44} = -98.4965209790777
x45=64.8662970075916x_{45} = 64.8662970075916
x46=58.583111700412x_{46} = 58.583111700412
x47=27.167185164514x_{47} = 27.167185164514
x48=36.5919631252834x_{48} = 36.5919631252834
x49=39.7335557788732x_{49} = 39.7335557788732
x50=61.7247043540018x_{50} = 61.7247043540018
x51=−19.9567046393328x_{51} = -19.9567046393328
x52=33.4503704716936x_{52} = 33.4503704716936
x53=−95.3549283254879x_{53} = -95.3549283254879
x54=−104.779706286257x_{54} = -104.779706286257
x55=93.1406308898997x_{55} = 93.1406308898997
x56=−243.009783044208x_{56} = -243.009783044208
x57=−38.8062605608716x_{57} = -38.8062605608716
x58=−32.523075253692x_{58} = -32.523075253692
x59=46.0167410860528x_{59} = 46.0167410860528
x60=68.0078896611814x_{60} = 68.0078896611814
x61=−16.8151119857431x_{61} = -16.8151119857431
x62=49.1583337396426x_{62} = 49.1583337396426
x63=−76.5053724039491x_{63} = -76.5053724039491
x64=−13.6735193321533x_{64} = -13.6735193321533
x65=−92.2133356718981x_{65} = -92.2133356718981
x66=−41.9478532144614x_{66} = -41.9478532144614
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/2 + cos(x).
sin⁡(0)2+cos⁡(0)\frac{\sin{\left(0 \right)}}{2} + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)+cos⁡(x)2=0- \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(12)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
              ___ 
            \/ 5  
(atan(1/2), -----)
              2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=atan⁡(12)x_{1} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(12)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[atan⁡(12),∞)\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)2+cos⁡(x))=0- (\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(2)x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−atan⁡(2)]\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right]
Convexa en los intervalos
[−atan⁡(2),∞)\left[- \operatorname{atan}{\left(2 \right)}, \infty\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/2 + cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)2+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)2+cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)2+cos⁡(x)=−sin⁡(x)2+cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)2+cos⁡(x)=sin⁡(x)2−cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x)/2+cos(x)
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