Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)/(1-cos(x))

Gráfico de la función y = sin(x)/(1-cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         sin(x)  
f(x) = ----------
       1 - cos(x)
f(x)=sin⁡(x)1−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} 
f = sin(x)/(1 - cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)1−cos⁡(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=πx_{1} = \pi
Solución numérica
x1=40.8407044966673x_{1} = 40.8407044966673
x2=53.4070751110265x_{2} = 53.4070751110265
x3=97.3893722612836x_{3} = 97.3893722612836
x4=34.5575191894877x_{4} = 34.5575191894877
x5=47.1238898038469x_{5} = 47.1238898038469
x6=−97.3893722612836x_{6} = -97.3893722612836
x7=−21.9911485751286x_{7} = -21.9911485751286
x8=3.14159265358979x_{8} = 3.14159265358979
x9=65.9734457253857x_{9} = 65.9734457253857
x10=−53.4070751110265x_{10} = -53.4070751110265
x11=−9.42477796076938x_{11} = -9.42477796076938
x12=−34.5575191894877x_{12} = -34.5575191894877
x13=21.9911485751286x_{13} = 21.9911485751286
x14=−47.1238898038469x_{14} = -47.1238898038469
x15=28.2743338823081x_{15} = 28.2743338823081
x16=−3.14159265358979x_{16} = -3.14159265358979
x17=−65.9734457253857x_{17} = -65.9734457253857
x18=72.2566310325652x_{18} = 72.2566310325652
x19=−59.6902604182061x_{19} = -59.6902604182061
x20=−91.106186954104x_{20} = -91.106186954104
x21=59.6902604182061x_{21} = 59.6902604182061
x22=−40.8407044966673x_{22} = -40.8407044966673
x23=91.106186954104x_{23} = 91.106186954104
x24=78.5398163397448x_{24} = 78.5398163397448
x25=84.8230016469244x_{25} = 84.8230016469244
x26=9.42477796076938x_{26} = 9.42477796076938
x27=−84.8230016469244x_{27} = -84.8230016469244
x28=−78.5398163397448x_{28} = -78.5398163397448
x29=15.707963267949x_{29} = 15.707963267949
x30=−28.2743338823081x_{30} = -28.2743338823081
x31=−15.707963267949x_{31} = -15.707963267949
x32=−72.2566310325652x_{32} = -72.2566310325652
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/(1 - cos(x)).
sin⁡(0)1−cos⁡(0)\frac{\sin{\left(0 \right)}}{1 - \cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)1−cos⁡(x)−sin⁡2(x)(1−cos⁡(x))2=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1cos⁡(x)−1−2cos⁡(x)cos⁡(x)−1)sin⁡(x)cos⁡(x)−1=0\frac{\left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(sin⁡(x)1−cos⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(sin⁡(x)1−cos⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/(1 - cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡(x)x(1−cos⁡(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sin⁡(x)x(1−cos⁡(x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)1−cos⁡(x)=−sin⁡(x)1−cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}
- No
sin⁡(x)1−cos⁡(x)=sin⁡(x)1−cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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