Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (1+sin(x))/(1-cos(x))

Gráfico de la función y = (1+sin(x))/(1-cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       1 + sin(x)
f(x) = ----------
       1 - cos(x)
f(x)=sin⁡(x)+11−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}} 
f = (sin(x) + 1)/(1 - cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)+11−cos⁡(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=−51.8362786647334x_{1} = -51.8362786647334
x2=61.2610582500604x_{2} = 61.2610582500604
x3=−58.1194644480702x_{3} = -58.1194644480702
x4=23.5619454321752x_{4} = 23.5619454321752
x5=61.2610558661276x_{5} = 61.2610558661276
x6=73.8274275280824x_{6} = 73.8274275280824
x7=54.9778707348059x_{7} = 54.9778707348059
x8=−20.4203517507281x_{8} = -20.4203517507281
x9=−64.4026489320139x_{9} = -64.4026489320139
x10=17.27875934175x_{10} = 17.27875934175
x11=−7.85398143955014x_{11} = -7.85398143955014
x12=−26.7035384616844x_{12} = -26.7035384616844
x13=−58.1194639738807x_{13} = -58.1194639738807
x14=−83.2522059194916x_{14} = -83.2522059194916
x15=54.9778712314506x_{15} = 54.9778712314506
x16=−89.5353907245238x_{16} = -89.5353907245238
x17=−1.57079681705452x_{17} = -1.57079681705452
x18=−70.6858349642237x_{18} = -70.6858349642237
x19=−70.6858334576112x_{19} = -70.6858334576112
x20=−20.4203525495775x_{20} = -20.4203525495775
x21=23.5619437331811x_{21} = 23.5619437331811
x22=−39.2699083323478x_{22} = -39.2699083323478
x23=29.8451298594713x_{23} = 29.8451298594713
x24=−64.4026497028546x_{24} = -64.4026497028546
x25=73.8274270131857x_{25} = 73.8274270131857
x26=10.9955735753649x_{26} = 10.9955735753649
x27=−39.2699087622788x_{27} = -39.2699087622788
x28=17.2787610080476x_{28} = 17.2787610080476
x29=−20.4203534393072x_{29} = -20.4203534393072
x30=10.9955740783498x_{30} = 10.9955740783498
x31=−76.9690202277841x_{31} = -76.9690202277841
x32=−32.9867230747276x_{32} = -32.9867230747276
x33=61.2610564947259x_{33} = 61.2610564947259
x34=67.5442426168149x_{34} = 67.5442426168149
x35=86.3937979006809x_{35} = 86.3937979006809
x36=−95.8185763578712x_{36} = -95.8185763578712
x37=36.1283159191971x_{37} = 36.1283159191971
x38=92.6769831293827x_{38} = 92.6769831293827
x39=92.6769827086389x_{39} = 92.6769827086389
x40=−7.8539820487734x_{40} = -7.8539820487734
x41=36.128315105695x_{41} = 36.128315105695
x42=4.71238839481131x_{42} = 4.71238839481131
x43=48.6946859753878x_{43} = 48.6946859753878
x44=−89.5353911282367x_{44} = -89.5353911282367
x45=−64.4026506125513x_{45} = -64.4026506125513
x46=73.8274257573467x_{46} = 73.8274257573467
x47=17.2787587024013x_{47} = 17.2787587024013
x48=−14.1371668069163x_{48} = -14.1371668069163
x49=4.71238882147948x_{49} = 4.71238882147948
x50=−70.6858356261438x_{50} = -70.6858356261438
x51=−45.5530935686252x_{51} = -45.5530935686252
x52=48.6946855517826x_{52} = 48.6946855517826
x53=−95.8185758568388x_{53} = -95.8185758568388
x54=−26.7035378112328x_{54} = -26.7035378112328
x55=−26.7035362276571x_{55} = -26.7035362276571
x56=−76.9690207441357x_{56} = -76.9690207441357
x57=−1.57079641247742x_{57} = -1.57079641247742
x58=42.4115003384217x_{58} = 42.4115003384217
x59=67.5442417569018x_{59} = 67.5442417569018
x60=−32.9867235842799x_{60} = -32.9867235842799
x61=98.96016789405x_{61} = 98.96016789405
x62=−45.5530939726067x_{62} = -45.5530939726067
x63=−51.8362792032951x_{63} = -51.8362792032951
x64=−83.252205486099x_{64} = -83.252205486099
x65=86.3937974938237x_{65} = 86.3937974938237
x66=80.1106122601112x_{66} = 80.1106122601112
x67=42.4115007439469x_{67} = 42.4115007439469
x68=67.5442409049482x_{68} = 67.5442409049482
x69=23.5619446036743x_{69} = 23.5619446036743
x70=−14.1371672942804x_{70} = -14.1371672942804
x71=29.8451303603741x_{71} = 29.8451303603741
x72=98.9601683845773x_{72} = 98.9601683845773
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 + sin(x))/(1 - cos(x)).
sin⁡(0)+11−cos⁡(0)\frac{\sin{\left(0 \right)} + 1}{1 - \cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)1−cos⁡(x)−(sin⁡(x)+1)sin⁡(x)(1−cos⁡(x))2=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 0)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+1)(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1)cos⁡(x)−1+sin⁡(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)−1cos⁡(x)−1=0\frac{- \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+11−cos⁡(x))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+11−cos⁡(x))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + sin(x))/(1 - cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+1x(1−cos⁡(x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{x \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+1x(1−cos⁡(x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{x \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)+11−cos⁡(x)=1−sin⁡(x)1−cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}} = \frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}
- No
sin⁡(x)+11−cos⁡(x)=−1−sin⁡(x)1−cos⁡(x)\frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{1 - \sin{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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