Sr Examen

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sin(x)*cos(2*x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x)*cos(2*x)

Gráfico de la función y = sin(x)*cos(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x)*cos(2*x)
f(x)=sin⁡(x)cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} 
f = sin(x)*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)cos⁡(2x)=0\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=69.1150383789755x_{1} = 69.1150383789755
x2=−55.7632696012188x_{2} = -55.7632696012188
x3=−98.174770424681x_{3} = -98.174770424681
x4=−11.7809724509617x_{4} = -11.7809724509617
x5=25.9181393921158x_{5} = 25.9181393921158
x6=−40.0553063332699x_{6} = -40.0553063332699
x7=18.0641577581413x_{7} = 18.0641577581413
x8=−13.3517687777566x_{8} = -13.3517687777566
x9=101.316363078271x_{9} = 101.316363078271
x10=96.6039740978861x_{10} = 96.6039740978861
x11=−41.6261026600648x_{11} = -41.6261026600648
x12=52.621676947629x_{12} = 52.621676947629
x13=76.1836218495525x_{13} = 76.1836218495525
x14=69.9004365423729x_{14} = 69.9004365423729
x15=30.6305283725005x_{15} = 30.6305283725005
x16=85.6083998103219x_{16} = 85.6083998103219
x17=−19.6349540849362x_{17} = -19.6349540849362
x18=28.2743338823081x_{18} = 28.2743338823081
x19=−3.92699081698724x_{19} = -3.92699081698724
x20=50.2654824574367x_{20} = 50.2654824574367
x21=32.2013246992954x_{21} = 32.2013246992954
x22=84.037603483527x_{22} = 84.037603483527
x23=−91.8915851175014x_{23} = -91.8915851175014
x24=98.174770424681x_{24} = 98.174770424681
x25=−280.387144332889x_{25} = -280.387144332889
x26=−85.6083998103219x_{26} = -85.6083998103219
x27=41.6261026600648x_{27} = 41.6261026600648
x28=91.8915851175014x_{28} = 91.8915851175014
x29=−2.35619449019234x_{29} = -2.35619449019234
x30=46.3384916404494x_{30} = 46.3384916404494
x31=65.9734457253857x_{31} = 65.9734457253857
x32=0x_{32} = 0
x33=63.6172512351933x_{33} = 63.6172512351933
x34=54.1924732744239x_{34} = 54.1924732744239
x35=−43.1968989868597x_{35} = -43.1968989868597
x36=78.5398163397448x_{36} = 78.5398163397448
x37=−84.037603483527x_{37} = -84.037603483527
x38=100.530964914873x_{38} = 100.530964914873
x39=−72.2566310325652x_{39} = -72.2566310325652
x40=21.9911485751286x_{40} = 21.9911485751286
x41=47.9092879672443x_{41} = 47.9092879672443
x42=24.3473430653209x_{42} = 24.3473430653209
x43=68.329640215578x_{43} = 68.329640215578
x44=62.0464549083984x_{44} = 62.0464549083984
x45=−68.329640215578x_{45} = -68.329640215578
x46=−37.6991118430775x_{46} = -37.6991118430775
x47=−81.6814089933346x_{47} = -81.6814089933346
x48=74.6128255227576x_{48} = 74.6128255227576
x49=−51.0508806208341x_{49} = -51.0508806208341
x50=−21.9911485751286x_{50} = -21.9911485751286
x51=−87.9645943005142x_{51} = -87.9645943005142
x52=−47.9092879672443x_{52} = -47.9092879672443
x53=40.0553063332699x_{53} = 40.0553063332699
x54=−57.3340659280137x_{54} = -57.3340659280137
x55=−43.9822971502571x_{55} = -43.9822971502571
x56=−25.9181393921158x_{56} = -25.9181393921158
x57=−76.1836218495525x_{57} = -76.1836218495525
x58=−62.0464549083984x_{58} = -62.0464549083984
x59=60.4756585816035x_{59} = 60.4756585816035
x60=−33.7721210260903x_{60} = -33.7721210260903
x61=94.2477796076938x_{61} = 94.2477796076938
x62=−59.6902604182061x_{62} = -59.6902604182061
x63=87.9645943005142x_{63} = 87.9645943005142
x64=−46.3384916404494x_{64} = -46.3384916404494
x65=−63.6172512351933x_{65} = -63.6172512351933
x66=−90.3207887907066x_{66} = -90.3207887907066
x67=−35.3429173528852x_{67} = -35.3429173528852
x68=8.63937979737193x_{68} = 8.63937979737193
x69=−15.707963267949x_{69} = -15.707963267949
x70=−12.5663706143592x_{70} = -12.5663706143592
x71=−18.0641577581413x_{71} = -18.0641577581413
x72=−54.1924732744239x_{72} = -54.1924732744239
x73=3.92699081698724x_{73} = 3.92699081698724
x74=6.28318530717959x_{74} = 6.28318530717959
x75=−79.3252145031423x_{75} = -79.3252145031423
x76=−99.7455667514759x_{76} = -99.7455667514759
x77=−30.6305283725005x_{77} = -30.6305283725005
x78=10.2101761241668x_{78} = 10.2101761241668
x79=19.6349540849362x_{79} = 19.6349540849362
x80=−77.7544181763474x_{80} = -77.7544181763474
x81=−69.9004365423729x_{81} = -69.9004365423729
x82=43.9822971502571x_{82} = 43.9822971502571
x83=−65.9734457253857x_{83} = -65.9734457253857
x84=172.002197784041x_{84} = 172.002197784041
x85=2.35619449019234x_{85} = 2.35619449019234
x86=−24.3473430653209x_{86} = -24.3473430653209
x87=90.3207887907066x_{87} = 90.3207887907066
x88=−32.2013246992954x_{88} = -32.2013246992954
x89=72.2566310325652x_{89} = 72.2566310325652
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)*cos(2*x).
sin⁡(0)cos⁡(0⋅2)\sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(5sin⁡(x)cos⁡(2x)+4sin⁡(2x)cos⁡(x))=0- (5 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=i(log⁡(9)−log⁡(−4−65i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-4 - \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(9)−log⁡(−4+65i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-4 + \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}
x5=−ilog⁡(−−4−65i3)x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-4 - \sqrt{65} i}}{3} \right)}
x6=−ilog⁡(−−4+65i3)x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-4 + \sqrt{65} i}}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2+atan⁡(654)2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)cos⁡(2x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)cos⁡(2x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)cos⁡(2x)=−sin⁡(x)cos⁡(2x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
- No
sin⁡(x)cos⁡(2x)=sin⁡(x)cos⁡(2x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x)*cos(2*x)
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