Sr Examen

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y=(sinx)/(2+cosx)
Trazado el gráfico de la función/ y=(sinx)/(2+cosx)

Gráfico de la función y = y=(sinx)/(2+cosx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         sin(x)  
f(x) = ----------
       2 + cos(x)
f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)+2f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} 
f = sin(x)/(cos(x) + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)cos⁡(x)+2=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=65.9734457253857x_{1} = 65.9734457253857
x2=−15.707963267949x_{2} = -15.707963267949
x3=37.6991118430775x_{3} = 37.6991118430775
x4=−69.1150383789755x_{4} = -69.1150383789755
x5=−34.5575191894877x_{5} = -34.5575191894877
x6=−91.106186954104x_{6} = -91.106186954104
x7=0x_{7} = 0
x8=6.28318530717959x_{8} = 6.28318530717959
x9=−47.1238898038469x_{9} = -47.1238898038469
x10=−78.5398163397448x_{10} = -78.5398163397448
x11=−28.2743338823081x_{11} = -28.2743338823081
x12=97.3893722612836x_{12} = 97.3893722612836
x13=40.8407044966673x_{13} = 40.8407044966673
x14=62.8318530717959x_{14} = 62.8318530717959
x15=−81.6814089933346x_{15} = -81.6814089933346
x16=43.9822971502571x_{16} = 43.9822971502571
x17=−84.8230016469244x_{17} = -84.8230016469244
x18=100.530964914873x_{18} = 100.530964914873
x19=69.1150383789755x_{19} = 69.1150383789755
x20=−94.2477796076938x_{20} = -94.2477796076938
x21=78.5398163397448x_{21} = 78.5398163397448
x22=−483.805268652828x_{22} = -483.805268652828
x23=81.6814089933346x_{23} = 81.6814089933346
x24=−1388.58395288669x_{24} = -1388.58395288669
x25=−72.2566310325652x_{25} = -72.2566310325652
x26=−6.28318530717959x_{26} = -6.28318530717959
x27=28.2743338823081x_{27} = 28.2743338823081
x28=−100.530964914873x_{28} = -100.530964914873
x29=−65.9734457253857x_{29} = -65.9734457253857
x30=94.2477796076938x_{30} = 94.2477796076938
x31=31.4159265358979x_{31} = 31.4159265358979
x32=50.2654824574367x_{32} = 50.2654824574367
x33=−21.9911485751286x_{33} = -21.9911485751286
x34=12.5663706143592x_{34} = 12.5663706143592
x35=15.707963267949x_{35} = 15.707963267949
x36=−75.398223686155x_{36} = -75.398223686155
x37=72.2566310325652x_{37} = 72.2566310325652
x38=18.8495559215388x_{38} = 18.8495559215388
x39=−37.6991118430775x_{39} = -37.6991118430775
x40=−50.2654824574367x_{40} = -50.2654824574367
x41=−3.14159265358979x_{41} = -3.14159265358979
x42=−87.9645943005142x_{42} = -87.9645943005142
x43=−25.1327412287183x_{43} = -25.1327412287183
x44=53.4070751110265x_{44} = 53.4070751110265
x45=9.42477796076938x_{45} = 9.42477796076938
x46=−43.9822971502571x_{46} = -43.9822971502571
x47=−56.5486677646163x_{47} = -56.5486677646163
x48=−97.3893722612836x_{48} = -97.3893722612836
x49=−59.6902604182061x_{49} = -59.6902604182061
x50=−12.5663706143592x_{50} = -12.5663706143592
x51=−18.8495559215388x_{51} = -18.8495559215388
x52=84.8230016469244x_{52} = 84.8230016469244
x53=25.1327412287183x_{53} = 25.1327412287183
x54=21.9911485751286x_{54} = 21.9911485751286
x55=59.6902604182061x_{55} = 59.6902604182061
x56=−53.4070751110265x_{56} = -53.4070751110265
x57=−31.4159265358979x_{57} = -31.4159265358979
x58=−9.42477796076938x_{58} = -9.42477796076938
x59=−62.8318530717959x_{59} = -62.8318530717959
x60=56.5486677646163x_{60} = 56.5486677646163
x61=75.398223686155x_{61} = 75.398223686155
x62=34.5575191894877x_{62} = 34.5575191894877
x63=87.9645943005142x_{63} = 87.9645943005142
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)/(2 + cos(x)).
sin⁡(0)cos⁡(0)+2\frac{\sin{\left(0 \right)}}{\cos{\left(0 \right)} + 2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)cos⁡(x)+2+sin⁡2(x)(cos⁡(x)+2)2=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
           ___  
 -2*pi  -\/ 3   
(-----, -------)
   3       3    

         ___ 
 2*pi  \/ 3  
(----, -----)
  3      3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
[−2π3,2π3]\left[- \frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−2π3]∪[2π3,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−1+cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)+2cos⁡(x)+2+2cos⁡(x)cos⁡(x)+2)sin⁡(x)cos⁡(x)+2=0\frac{\left(-1 + \frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}}{\cos{\left(x \right)} + 2} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)cos⁡(x)+2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)cos⁡(x)+2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)/(2 + cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)x(cos⁡(x)+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(\cos{\left(x \right)} + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)x(cos⁡(x)+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(\cos{\left(x \right)} + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)cos⁡(x)+2=−sin⁡(x)cos⁡(x)+2\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}
- No
sin⁡(x)cos⁡(x)+2=sin⁡(x)cos⁡(x)+2\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=(sinx)/(2+cosx)
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