Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (3*sin(x)^2-2*sin(x))/cos(x)-1

Gráfico de la función y = (3*sin(x)^2-2*sin(x))/cos(x)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2                  
       3*sin (x) - 2*sin(x)    
f(x) = -------------------- - 1
              cos(x)
f(x)=3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1f{\left(x \right)} = \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1 
f = (3*sin(x)^2 - 2*sin(x))/cos(x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1=0\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2atan⁡(−1+−8−218879+63−14318879+63+24−4+14318879+63+218879+632+−4+14318879+63+218879+632)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{\sqrt{-8 - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6} - \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6}} + \frac{24}{\sqrt{-4 + \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6}}}}}{2} + \frac{\sqrt{-4 + \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6}}}{2} \right)}
x2=2atan⁡(−−4+14318879+63+218879+632+−8−218879+63−14318879+63+24−4+14318879+63+218879+632+1)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{-4 + \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6}}}{2} + \frac{\sqrt{-8 - 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6} - \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6}} + \frac{24}{\sqrt{-4 + \frac{14}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6}} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{1887}}{9} + 6}}}}}{2} + 1 \right)}
Solución numérica
x1=−0.325783414376278x_{1} = -0.325783414376278
x2=81.3556255789584x_{2} = 81.3556255789584
x3=−25.4585246430946x_{3} = -25.4585246430946
x4=−61.7919318126126x_{4} = -61.7919318126126
x5=76.4381449453383x_{5} = 76.4381449453383
x6=−107.139933636429x_{6} = -107.139933636429
x7=145.553183324314x_{7} = 145.553183324314
x8=43.6565137358808x_{8} = 43.6565137358808
x9=−31.7417099502742x_{9} = -31.7417099502742
x10=−74.3583024269717x_{10} = -74.3583024269717
x11=70.1549596381587x_{11} = 70.1549596381587
x12=63.8717743309792x_{12} = 63.8717743309792
x13=26.1726624879016x_{13} = 26.1726624879016
x14=−11.5264493551759x_{14} = -11.5264493551759
x15=−69.4408217933517x_{15} = -69.4408217933517
x16=18.5237725071625x_{16} = 18.5237725071625
x17=−24.0928199695351x_{17} = -24.0928199695351
x18=−36.6591905838942x_{18} = -36.6591905838942
x19=32.4558477950812x_{19} = 32.4558477950812
x20=−17.8096346623555x_{20} = -17.8096346623555
x21=−55.508746505433x_{21} = -55.508746505433
x22=75.0724402717788x_{22} = 75.0724402717788
x23=19.8894771807221x_{23} = 19.8894771807221
x24=57.5885890237996x_{24} = 57.5885890237996
x25=−38.0248952574538x_{25} = -38.0248952574538
x26=37.3733284287012x_{26} = 37.3733284287012
x27=−119.706304250788x_{27} = -119.706304250788
x28=−63.1576364861721x_{28} = -63.1576364861721
x29=−30.3760052767146x_{29} = -30.3760052767146
x30=−99.4910436556901x_{30} = -99.4910436556901
x31=−19.175339335915x_{31} = -19.175339335915
x32=87.6388108861379x_{32} = 87.6388108861379
x33=49.9396990430604x_{33} = 49.9396990430604
x34=−44.3080805646334x_{34} = -44.3080805646334
x35=24.8069578143421x_{35} = 24.8069578143421
x36=5.95740189280331x_{36} = 5.95740189280331
x37=95.2877008668771x_{37} = 95.2877008668771
x38=−68.0751171197922x_{38} = -68.0751171197922
x39=56.22288435024x_{39} = 56.22288435024
x40=−873.688541112339x_{40} = -873.688541112339
x41=−6.60896872155586x_{41} = -6.60896872155586
x42=93.9219961933175x_{42} = 93.9219961933175
x43=−12.8921540287355x_{43} = -12.8921540287355
x44=12.2405871999829x_{44} = 12.2405871999829
x45=−75.7240071005313x_{45} = -75.7240071005313
x46=82.7213302525179x_{46} = 82.7213302525179
x47=31.0901431215217x_{47} = 31.0901431215217
x48=68.7892549645992x_{48} = 68.7892549645992
x49=100.205181500497x_{49} = 100.205181500497
x50=−82.0071924077109x_{50} = -82.0071924077109
x51=−50.591265871813x_{51} = -50.591265871813
x52=62.5060696574196x_{52} = 62.5060696574196
x53=−56.8744511789926x_{53} = -56.8744511789926
x54=−88.2903777148905x_{54} = -88.2903777148905
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*sin(x)^2 - 2*sin(x))/cos(x) - 1.
−1+3sin⁡2(0)−2sin⁡(0)cos⁡(0)-1 + \frac{3 \sin^{2}{\left(0 \right)} - 2 \sin{\left(0 \right)}}{\cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6sin⁡(x)cos⁡(x)−2cos⁡(x)cos⁡(x)+(3sin⁡2(x)−2sin⁡(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)=0\frac{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(CRootOf⁡(x6−6x5+3x4+3x2−6x+1,0))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 6 x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x + 1, 0\right)} \right)}
x2=2atan⁡(CRootOf⁡(x6−6x5+3x4+3x2−6x+1,1))x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 6 x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x + 1, 1\right)} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                    /      /       / 6      5      4      2             \\\        2/      /       / 6      5      4      2             \\\ 
       /       / 6      5      4      2             \\       - 2*sin\2*atan\CRootOf\x  - 6*x  + 3*x  + 3*x  - 6*x + 1, 0/// + 3*sin \2*atan\CRootOf\x  - 6*x  + 3*x  + 3*x  - 6*x + 1, 0/// 
(2*atan\CRootOf\x  - 6*x  + 3*x  + 3*x  - 6*x + 1, 0//, -1 + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
                                                                                                  /      /       / 6      5      4      2             \\\                                   
                                                                                               cos\2*atan\CRootOf\x  - 6*x  + 3*x  + 3*x  - 6*x + 1, 0///                                   

                                                                    /      /       / 6      5      4      2             \\\        2/      /       / 6      5      4      2             \\\ 
       /       / 6      5      4      2             \\       - 2*sin\2*atan\CRootOf\x  - 6*x  + 3*x  + 3*x  - 6*x + 1, 1/// + 3*sin \2*atan\CRootOf\x  - 6*x  + 3*x  + 3*x  - 6*x + 1, 1/// 
(2*atan\CRootOf\x  - 6*x  + 3*x  + 3*x  - 6*x + 1, 1//, -1 + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
                                                                                                  /      /       / 6      5      4      2             \\\                                   
                                                                                               cos\2*atan\CRootOf\x  - 6*x  + 3*x  + 3*x  - 6*x + 1, 1///


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2atan⁡(CRootOf⁡(x6−6x5+3x4+3x2−6x+1,0))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 6 x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x + 1, 0\right)} \right)}
Puntos máximos de la función:
x1=2atan⁡(CRootOf⁡(x6−6x5+3x4+3x2−6x+1,1))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 6 x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x + 1, 1\right)} \right)}
Decrece en los intervalos
[2atan⁡(CRootOf⁡(x6−6x5+3x4+3x2−6x+1,0)),2atan⁡(CRootOf⁡(x6−6x5+3x4+3x2−6x+1,1))]\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 6 x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x + 1, 0\right)} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 6 x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x + 1, 1\right)} \right)}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,2atan⁡(CRootOf⁡(x6−6x5+3x4+3x2−6x+1,0))]∪[2atan⁡(CRootOf⁡(x6−6x5+3x4+3x2−6x+1,1)),∞)\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 6 x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x + 1, 0\right)} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} - 6 x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} - 6 x + 1, 1\right)} \right)}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1)y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*sin(x)^2 - 2*sin(x))/cos(x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1=3sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)−1\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1 = \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1
- No
3sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)−1=−3sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)+1\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1 = - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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