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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(1+x^2)-log(1/x+sqrt(1+1/x^2))

Gráfico de la función y = sqrt(1+x^2)-log(1/x+sqrt(1+1/x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ________      /         ________\
         /      2       |1       /     1  |
f(x) = \/  1 + x   - log|- +    /  1 + -- |
                        |x     /        2 |
                        \    \/        x  /
f(x)=x2+1−log⁡(1+1x2+1x)f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1} - \log{\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x} \right)} 
f = sqrt(x^2 + 1) - log(sqrt(1 + 1/(x^2)) + 1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020-10
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+1−log⁡(1+1x2+1x)=0\sqrt{x^{2} + 1} - \log{\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.662743419349182x_{1} = 0.662743419349182
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(1 + x^2) - log(1/x + sqrt(1 + 1/(x^2))).
−log⁡(10+102+1)+02+1- \log{\left(\frac{1}{0} + \sqrt{\frac{1}{0^{2}} + 1} \right)} + \sqrt{0^{2} + 1}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx2+1−−1x2−1x31+1x21+1x2+1x=0\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
       ___      /       ___\ 
(-1, \/ 2  - log\-1 + \/ 2 /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x2(x2+1)32+1x2+1−2+3x1+1x2−1x3(1+1x2)32x3(1+1x2+1x)+(1+1x1+1x2)2x4(1+1x2+1x)2=0- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{2 + \frac{3}{x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}} - \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}}{x^{3} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x}\right)} + \frac{\left(1 + \frac{1}{x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}\right)^{2}}{x^{4} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+1−log⁡(1+1x2+1x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \log{\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+1−log⁡(1+1x2+1x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - \log{\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(1 + x^2) - log(1/x + sqrt(1 + 1/(x^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+1−log⁡(1+1x2+1x)x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \log{\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(x2+1−log⁡(1+1x2+1x)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \log{\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+1−log⁡(1+1x2+1x)=x2+1−log⁡(1+1x2−1x)\sqrt{x^{2} + 1} - \log{\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x} \right)} = \sqrt{x^{2} + 1} - \log{\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{1}{x} \right)}
- No
x2+1−log⁡(1+1x2+1x)=−x2+1+log⁡(1+1x2−1x)\sqrt{x^{2} + 1} - \log{\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x} \right)} = - \sqrt{x^{2} + 1} + \log{\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - \frac{1}{x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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