Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ (1-cos(x)-x*sin(x))/((2*(1-cos(x))))

Gráfico de la función y = (1-cos(x)-x*sin(x))/((2*(1-cos(x))))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       1 - cos(x) - x*sin(x)
f(x) = ---------------------
           2*(1 - cos(x))
f(x)=−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x))2(1−cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \frac{- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} 
f = (-x*sin(x) + 1 - cos(x))/((2*(1 - cos(x))))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x))2(1−cos⁡(x))=0\frac{- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−72.2289430706097x_{1} = -72.2289430706097
x2=−84.7994176724893x_{2} = -84.7994176724893
x3=−34.4995636692158x_{3} = -34.4995636692158
x4=−59.656738426191x_{4} = -59.656738426191
x5=53.3696049818501x_{5} = 53.3696049818501
x6=−40.7916847146183x_{6} = -40.7916847146183
x7=59.656738426191x_{7} = 59.656738426191
x8=9.20843355440115x_{8} = 9.20843355440115
x9=97.3688325296866x_{9} = 97.3688325296866
x10=−78.5143446648172x_{10} = -78.5143446648172
x11=−28.2034502671317x_{11} = -28.2034502671317
x12=65.943118880897x_{12} = 65.943118880897
x13=47.0814165846103x_{13} = 47.0814165846103
x14=28.2034502671317x_{14} = 28.2034502671317
x15=72.2289430706097x_{15} = 72.2289430706097
x16=84.7994176724893x_{16} = 84.7994176724893
x17=40.7916847146183x_{17} = 40.7916847146183
x18=15.5797675022891x_{18} = 15.5797675022891
x19=2.33112237041442x_{19} = 2.33112237041442
x20=34.4995636692158x_{20} = 34.4995636692158
x21=−65.943118880897x_{21} = -65.943118880897
x22=−21.8998872970823x_{22} = -21.8998872970823
x23=−2.33112237041442x_{23} = -2.33112237041442
x24=−9.20843355440115x_{24} = -9.20843355440115
x25=78.5143446648172x_{25} = 78.5143446648172
x26=91.0842301384618x_{26} = 91.0842301384618
x27=−53.3696049818501x_{27} = -53.3696049818501
x28=21.8998872970823x_{28} = 21.8998872970823
x29=−15.5797675022891x_{29} = -15.5797675022891
x30=−47.0814165846103x_{30} = -47.0814165846103
x31=−91.0842301384618x_{31} = -91.0842301384618
x32=−97.3688325296866x_{32} = -97.3688325296866
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 - cos(x) - x*sin(x))/((2*(1 - cos(x)))).
−0sin⁡(0)+(1−cos⁡(0))2(1−cos⁡(0))\frac{- 0 \sin{\left(0 \right)} + \left(1 - \cos{\left(0 \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(0 \right)}\right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x12(1−cos⁡(x))cos⁡(x)−(−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x)))sin⁡(x)2(1−cos⁡(x))2=0- x \frac{1}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\left(- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.00932607298195⋅10−13x_{1} = 1.00932607298195 \cdot 10^{-13}
x2=−4.89239434246314⋅10−13x_{2} = -4.89239434246314 \cdot 10^{-13}
x3=−5.88488902010404⋅10−13x_{3} = -5.88488902010404 \cdot 10^{-13}
x4=−7.99869585249244⋅10−14x_{4} = -7.99869585249244 \cdot 10^{-14}
x5=−1.92271504116318⋅10−12x_{5} = -1.92271504116318 \cdot 10^{-12}
x6=5.79762506756984⋅10−13x_{6} = 5.79762506756984 \cdot 10^{-13}
x7=−5.62065117462202⋅10−14x_{7} = -5.62065117462202 \cdot 10^{-14}
Signos de extremos en los puntos:
(1.0093260729819502e-13, zoo)

(-4.892394342463145e-13, zoo)

(-5.884889020104039e-13, zoo)

(-7.998695852492435e-14, zoo)

(-1.922715041163183e-12, zoo)

(5.797625067569835e-13, zoo)

(-5.6206511746220214e-14, zoo)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−xsin⁡(x)2+xsin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)−1+cos⁡(x)2+(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1)(xsin⁡(x)+cos⁡(x)−1)2(cos⁡(x)−1)cos⁡(x)−1=0\frac{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−21.8082433188578x_{1} = -21.8082433188578
x2=15.4505036738754x_{2} = 15.4505036738754
x3=−72.2012444887512x_{3} = -72.2012444887512
x4=84.7758271362638x_{4} = 84.7758271362638
x5=−28.1323878256629x_{5} = -28.1323878256629
x6=53.3321085176254x_{6} = 53.3321085176254
x7=−40.7426059185751x_{7} = -40.7426059185751
x8=−34.4415105438615x_{8} = -34.4415105438615
x9=8.98681891581813x_{9} = 8.98681891581813
x10=−53.3321085176254x_{10} = -53.3321085176254
x11=−91.0622680279826x_{11} = -91.0622680279826
x12=47.038904997378x_{12} = 47.038904997378
x13=−15.4505036738754x_{13} = -15.4505036738754
x14=21.8082433188578x_{14} = 21.8082433188578
x15=78.4888647223284x_{15} = 78.4888647223284
x16=59.6231975817859x_{16} = 59.6231975817859
x17=−47.038904997378x_{17} = -47.038904997378
x18=40.7426059185751x_{18} = 40.7426059185751
x19=34.4415105438615x_{19} = 34.4415105438615
x20=28.1323878256629x_{20} = 28.1323878256629
x21=−65.912778079645x_{21} = -65.912778079645
x22=72.2012444887512x_{22} = 72.2012444887512
x23=97.3482884639088x_{23} = 97.3482884639088
x24=−78.4888647223284x_{24} = -78.4888647223284
x25=−97.3482884639088x_{25} = -97.3482884639088
x26=−84.7758271362638x_{26} = -84.7758271362638
x27=−8.98681891581813x_{27} = -8.98681891581813
x28=−59.6231975817859x_{28} = -59.6231975817859
x29=91.0622680279826x_{29} = 91.0622680279826
x30=65.912778079645x_{30} = 65.912778079645
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959

lim⁡x→0−(−xsin⁡(x)2+xsin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)−1+cos⁡(x)2+(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1)(xsin⁡(x)+cos⁡(x)−1)2(cos⁡(x)−1)cos⁡(x)−1)=16\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \frac{1}{6}
lim⁡x→0+(−xsin⁡(x)2+xsin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)−1+cos⁡(x)2+(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1)(xsin⁡(x)+cos⁡(x)−1)2(cos⁡(x)−1)cos⁡(x)−1)=16\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \frac{1}{6}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→6.28318530717959−(−xsin⁡(x)2+xsin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)−1+cos⁡(x)2+(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1)(xsin⁡(x)+cos⁡(x)−1)2(cos⁡(x)−1)cos⁡(x)−1)=∞\lim_{x \to 6.28318530717959^-}\left(\frac{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \infty
lim⁡x→6.28318530717959+(−xsin⁡(x)2+xsin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(x)−1+cos⁡(x)2+(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1)(xsin⁡(x)+cos⁡(x)−1)2(cos⁡(x)−1)cos⁡(x)−1)=−∞\lim_{x \to 6.28318530717959^+}\left(\frac{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1\right)}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[97.3482884639088,∞)\left[97.3482884639088, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−8.98681891581813,8.98681891581813]\left[-8.98681891581813, 8.98681891581813\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x))2(1−cos⁡(x)))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x))2(1−cos⁡(x)))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - cos(x) - x*sin(x))/((2*(1 - cos(x)))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(12(1−cos⁡(x))(−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x)))x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} \left(- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(12(1−cos⁡(x))(−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x)))x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} \left(- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)\right)}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x))2(1−cos⁡(x))=−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x))2(1−cos⁡(x))\frac{- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} = \frac{- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}
- Sí
−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x))2(1−cos⁡(x))=−−xsin⁡(x)+(1−cos⁡(x))2(1−cos⁡(x))\frac{- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)} = - \frac{- x \sin{\left(x \right)} + \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}
- No
es decir, función
es
par
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