Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(x)/tan(x)

Gráfico de la función y = exp(x)/tan(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x  
         e   
f(x) = ------
       tan(x)
f(x)=extan⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{e^{x}}{\tan{\left(x \right)}} 
f = exp(x)/tan(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000500000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
extan⁡(x)=0\frac{e^{x}}{\tan{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−86.3937979737193x_{1} = -86.3937979737193
x2=−98.9601685880785x_{2} = -98.9601685880785
x3=29.845130209103x_{3} = 29.845130209103
x4=−42.4115008234622x_{4} = -42.4115008234622
x5=−95.8185759344887x_{5} = -95.8185759344887
x6=−64.4026493985908x_{6} = -64.4026493985908
x7=14.1371669411541x_{7} = 14.1371669411541
x8=−17.2787595947439x_{8} = -17.2787595947439
x9=−48.6946861306418x_{9} = -48.6946861306418
x10=−67.5442420521806x_{10} = -67.5442420521806
x11=−32.9867228626928x_{11} = -32.9867228626928
x12=−80.1106126665397x_{12} = -80.1106126665397
x13=1.5707963267949x_{13} = 1.5707963267949
x14=10.9955742875643x_{14} = 10.9955742875643
x15=−7.85398163397448x_{15} = -7.85398163397448
x16=−76.9690200129499x_{16} = -76.9690200129499
x17=−4.71238898038469x_{17} = -4.71238898038469
x18=20.4203522483337x_{18} = 20.4203522483337
x19=23.5619449019235x_{19} = 23.5619449019235
x20=−45.553093477052x_{20} = -45.553093477052
x21=−1.5707963267949x_{21} = -1.5707963267949
x22=−10.9955742875643x_{22} = -10.9955742875643
x23=26.7035375555132x_{23} = 26.7035375555132
x24=−58.1194640914112x_{24} = -58.1194640914112
x25=−39.2699081698724x_{25} = -39.2699081698724
x26=−23.5619449019235x_{26} = -23.5619449019235
x27=−70.6858347057703x_{27} = -70.6858347057703
x28=−14.1371669411541x_{28} = -14.1371669411541
x29=−83.2522053201295x_{29} = -83.2522053201295
x30=7.85398163397448x_{30} = 7.85398163397448
x31=−89.5353906273091x_{31} = -89.5353906273091
x32=−29.845130209103x_{32} = -29.845130209103
x33=−26.7035375555132x_{33} = -26.7035375555132
x34=−36.1283155162826x_{34} = -36.1283155162826
x35=−92.6769832808989x_{35} = -92.6769832808989
x36=−51.8362787842316x_{36} = -51.8362787842316
x37=−73.8274273593601x_{37} = -73.8274273593601
x38=17.2787595947439x_{38} = 17.2787595947439
x39=4.71238898038469x_{39} = 4.71238898038469
x40=−20.4203522483337x_{40} = -20.4203522483337
x41=−54.9778714378214x_{41} = -54.9778714378214
x42=−61.261056745001x_{42} = -61.261056745001
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(x)/tan(x).
e0tan⁡(0)\frac{e^{0}}{\tan{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−tan⁡2(x)−1)extan⁡2(x)+extan⁡(x)=0\frac{\left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right) e^{x}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{e^{x}}{\tan{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2(tan⁡2(x)+1tan⁡2(x)−1)(tan⁡2(x)+1)−2(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+1)extan⁡(x)=0\frac{\left(2 \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + 1\right) e^{x}}{\tan{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(extan⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(extan⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{\tan{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(x)/tan(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exxtan⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x \tan{\left(x \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(exxtan⁡(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x \tan{\left(x \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
extan⁡(x)=−e−xtan⁡(x)\frac{e^{x}}{\tan{\left(x \right)}} = - \frac{e^{- x}}{\tan{\left(x \right)}}
- No
extan⁡(x)=e−xtan⁡(x)\frac{e^{x}}{\tan{\left(x \right)}} = \frac{e^{- x}}{\tan{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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