Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin^(2)(x)-1

Gráfico de la función y = sin^(2)(x)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2       
f(x) = sin (x) - 1
f(x)=sin⁡2(x)−1f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - 1 
f = sin(x)^2 - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(x)−1=0\sin^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=17.2787595624179x_{1} = 17.2787595624179
x2=−17.2787598091171x_{2} = -17.2787598091171
x3=32.9867226137576x_{3} = 32.9867226137576
x4=−54.9778716831146x_{4} = -54.9778716831146
x5=−39.2699083866483x_{5} = -39.2699083866483
x6=42.4115007291722x_{6} = 42.4115007291722
x7=20.4203521497111x_{7} = 20.4203521497111
x8=−17.2787590276524x_{8} = -17.2787590276524
x9=64.4026493086922x_{9} = 64.4026493086922
x10=76.9690197631883x_{10} = 76.9690197631883
x11=−61.2610569641117x_{11} = -61.2610569641117
x12=67.5442422779275x_{12} = 67.5442422779275
x13=39.2699081179815x_{13} = 39.2699081179815
x14=7.85398174058521x_{14} = 7.85398174058521
x15=76.9690200400775x_{15} = 76.9690200400775
x16=−58.1194639993376x_{16} = -58.1194639993376
x17=541.924732890135x_{17} = 541.924732890135
x18=−51.8362786897497x_{18} = -51.8362786897497
x19=−36.1283154192437x_{19} = -36.1283154192437
x20=−45.5530935883361x_{20} = -45.5530935883361
x21=83.2522055730903x_{21} = 83.2522055730903
x22=−42.4115006098842x_{22} = -42.4115006098842
x23=−64.4026491876462x_{23} = -64.4026491876462
x24=10.9955740392793x_{24} = 10.9955740392793
x25=4.71238876848081x_{25} = 4.71238876848081
x26=80.1106131434937x_{26} = 80.1106131434937
x27=80.1106126771746x_{27} = 80.1106126771746
x28=−4.71238872430683x_{28} = -4.71238872430683
x29=−98.960168684456x_{29} = -98.960168684456
x30=−73.8274272800405x_{30} = -73.8274272800405
x31=76.9690207492347x_{31} = 76.9690207492347
x32=83.2522052340866x_{32} = 83.2522052340866
x33=−20.4203520321877x_{33} = -20.4203520321877
x34=−26.7035375427973x_{34} = -26.7035375427973
x35=29.845130320338x_{35} = 29.845130320338
x36=−76.9690198771149x_{36} = -76.9690198771149
x37=−32.9867227513827x_{37} = -32.9867227513827
x38=−26.7035372990183x_{38} = -26.7035372990183
x39=−70.6858346386357x_{39} = -70.6858346386357
x40=−39.2699081528781x_{40} = -39.2699081528781
x41=51.8362788999928x_{41} = 51.8362788999928
x42=45.553093700501x_{42} = 45.553093700501
x43=54.9778711883962x_{43} = 54.9778711883962
x44=−54.9778713137198x_{44} = -54.9778713137198
x45=89.5353908552844x_{45} = 89.5353908552844
x46=39.2699084246933x_{46} = 39.2699084246933
x47=−10.9955745350309x_{47} = -10.9955745350309
x48=−95.8185758681287x_{48} = -95.8185758681287
x49=95.8185760590309x_{49} = 95.8185760590309
x50=−70.685834448838x_{50} = -70.685834448838
x51=−32.9867231091652x_{51} = -32.9867231091652
x52=−86.393797765473x_{52} = -86.393797765473
x53=73.8274274795554x_{53} = 73.8274274795554
x54=−61.2610562242523x_{54} = -61.2610562242523
x55=−14.1371668392726x_{55} = -14.1371668392726
x56=−48.6946860920117x_{56} = -48.6946860920117
x57=−80.1106125795659x_{57} = -80.1106125795659
x58=−92.6769831823972x_{58} = -92.6769831823972
x59=1.5707965454425x_{59} = 1.5707965454425
x60=98.9601685932308x_{60} = 98.9601685932308
x61=−98.96016883042x_{61} = -98.96016883042
x62=36.1283156002139x_{62} = 36.1283156002139
x63=58.1194644379895x_{63} = 58.1194644379895
x64=23.5619451230057x_{64} = 23.5619451230057
x65=86.393797888273x_{65} = 86.393797888273
x66=−83.2522055415057x_{66} = -83.2522055415057
x67=−76.9690202568697x_{67} = -76.9690202568697
x68=26.7035373461441x_{68} = 26.7035373461441
x69=61.2610569989704x_{69} = 61.2610569989704
x70=−29.8451300963672x_{70} = -29.8451300963672
x71=32.986722928111x_{71} = 32.986722928111
x72=−48.6946858738636x_{72} = -48.6946858738636
x73=54.9778714849733x_{73} = 54.9778714849733
x74=17.2787598502655x_{74} = 17.2787598502655
x75=−98.9601684414698x_{75} = -98.9601684414698
x76=98.9601683381274x_{76} = 98.9601683381274
x77=92.6769830795146x_{77} = 92.6769830795146
x78=48.6946859238715x_{78} = 48.6946859238715
x79=61.2610566752601x_{79} = 61.2610566752601
x80=14.1371671048484x_{80} = 14.1371671048484
x81=−23.5619450090417x_{81} = -23.5619450090417
x82=−4.7123889912442x_{82} = -4.7123889912442
x83=23.5619449395428x_{83} = 23.5619449395428
x84=10.9955743696636x_{84} = 10.9955743696636
x85=−10.9955741902138x_{85} = -10.9955741902138
x86=−92.6769830239371x_{86} = -92.6769830239371
x87=−89.5353907467661x_{87} = -89.5353907467661
x88=−67.5442421675773x_{88} = -67.5442421675773
x89=−7.85398149857354x_{89} = -7.85398149857354
x90=−1.57079642969308x_{90} = -1.57079642969308
x91=70.6858345016621x_{91} = 70.6858345016621
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^2 - 1.
−1+sin⁡2(0)-1 + \sin^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)cos⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)

 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x))=02 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)−1)=⟨−1,0⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -1, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,0⟩y = \left\langle -1, 0\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)−1)=⟨−1,0⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -1, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,0⟩y = \left\langle -1, 0\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡2(x)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡2(x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(x)−1=sin⁡2(x)−1\sin^{2}{\left(x \right)} - 1 = \sin^{2}{\left(x \right)} - 1
- Sí
sin⁡2(x)−1=1−sin⁡2(x)\sin^{2}{\left(x \right)} - 1 = 1 - \sin^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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