Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(5-4x-x^2)

Gráfico de la función y = sqrt(5-4x-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ______________
         /            2 
f(x) = \/  5 - 4*x - x
f(x)=−x2+(5−4x)f{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)} 
f = sqrt(-x^2 + 5 - 4*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+(5−4x)=0\sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5x_{1} = -5
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−5x_{1} = -5
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(5 - 4*x - x^2).
−02+(5−0)\sqrt{- 0^{2} + \left(5 - 0\right)}
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = \sqrt{5}
Punto:
(0, sqrt(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x−2−x2+(5−4x)=0\frac{- x - 2}{\sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Crece en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x+2)2−x2−4x+5+1−x2−4x+5=0- \frac{\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{- x^{2} - 4 x + 5} + 1}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞−x2+(5−4x)=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞−x2+(5−4x)=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(5 - 4*x - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+(5−4x)x)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)}}{x}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−ixy = - i x
lim⁡x→∞(−x2+(5−4x)x)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)}}{x}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixy = i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+(5−4x)=−x2+4x+5\sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)} = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}
- No
−x2+(5−4x)=−−x2+4x+5\sqrt{- x^{2} + \left(5 - 4 x\right)} = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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