Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctan(x/sqrt(1-x*x))

Gráfico de la función y = arctan(x/sqrt(1-x*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /     x     \
f(x) = atan|-----------|
           |  _________|
           \\/ 1 - x*x /
f(x)=atan⁡(x−xx+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{- x x + 1}} \right)} 
f = atan(x/sqrt(-x*x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x−xx+1)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{- x x + 1}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x/sqrt(1 - x*x)).
atan⁡(0−0⋅0+1)\operatorname{atan}{\left(\frac{0}{\sqrt{- 0 \cdot 0 + 1}} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2(−xx+1)32+1−xx+1x2−xx+1+1=0\frac{\frac{x^{2}}{\left(- x x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{- x x + 1}}}{\frac{x^{2}}{- x x + 1} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x(3x2(1−x2)2+2(x21−x2+1)x2−1−1x2−1+21−x2)1−x2(x2x2−1−1)=0- \frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{1 - x^{2}}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(−x(3x2(1−x2)2+2(x21−x2+1)x2−1−1x2−1+21−x2)1−x2(x2x2−1−1))=−∞i\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{1 - x^{2}}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}\right) = - \infty i
lim⁡x→−1+(−x(3x2(1−x2)2+2(x21−x2+1)x2−1−1x2−1+21−x2)1−x2(x2x2−1−1))=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{1 - x^{2}}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(−x(3x2(1−x2)2+2(x21−x2+1)x2−1−1x2−1+21−x2)1−x2(x2x2−1−1))=∞\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{1 - x^{2}}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}\right) = \infty
lim⁡x→1+(−x(3x2(1−x2)2+2(x21−x2+1)x2−1−1x2−1+21−x2)1−x2(x2x2−1−1))=∞i\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{1 - x^{2}}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x−xx+1)=∞i\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{- x x + 1}} \right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞atan⁡(x−xx+1)=−∞i\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{- x x + 1}} \right)} = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x/sqrt(1 - x*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(atan⁡(x−xx+1)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{- x x + 1}} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(atan⁡(x−xx+1)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{- x x + 1}} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x−xx+1)=−atan⁡(x1−x2)\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{- x x + 1}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \right)}
- No
atan⁡(x−xx+1)=atan⁡(x1−x2)\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{- x x + 1}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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