Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- \frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{1 - x^{2}}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{1 - x^{2}}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{1 - x^{2}}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{1 - x^{2}}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{2 \left(\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} + 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{1 - x^{2}}\right)}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$